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stellt die Basis für die Standard-Lebesgue-Integration auf
dar. Ist nichts anderes ex-
plizit angegeben, so beziehen sich die jeweiligen Begriffe aus der Maß- und Integrati-
onstheorie jeweils auf diesen Maßraum.
Das Integral für nicht-negative Funktionen lässt sich nun erklären:
Ω
Definition 2.42
(Messbare nicht-negative Funktionen, Integral)
Es sei
(
Ω
,
F
,
μ
)
ein Maßraum. Eine Funktion
f
:
Ω
→
[
0,
∞
]
heißt
messbar
, falls
f
−
1
([
a
,
b
])
∈
F
für alle
0
≤
a
≤
b
.
Für messbare Funktionen mit endlichem Wertebereich,
Treppenfunktionen
, sei das
Inte-
gral
erklärt durch
μ
f
−
1
}
)
a
∑
(
)
μ
(
)=
μ
=
(
{
∈
[
∞]
f
t
d
t
f
d
a
0,
.
Ω
Ω
a
∈f
(Ω)
Das Integral für allgemeine messbare nicht-negative Funktionen sei definiert mittels
sup
f
,
f
(
t
)
d
μ
(
t
)=
f
d
μ
=
g
d
μ
g
Treppenfunktion,
g
≤
Ω
Ω
Ω
ist dieses Supremum endlich, nennen wir
f integrierbar
.
Der Wert des Integrals ist insbesondere invariant gegenüber Änderungen des Inte-
granden auf einer messbaren Nullmenge. Daher ist es möglich, Messbarkeit und Inte-
grierbarkeit für Funktionen zu erklären, die nur fast überall auf
definiert sind, indem
man sie zum Beispiel mit 0 fortsetzt. Aus diesem Grund benutzen wir, der Ungenauig-
keit bewusst, die Schreibweise „
f
:
Ω
Ω
→
[
0,
∞
]
messbar“, auch wenn der Definitionsbe-
reich von
f
nicht ganz
ist.
Der Integralbegriff für nicht-negative Funktionen ist die Grundlage für das Lebes-
guesche Integral. Allgemein werden messbare Funktionen mit Werten in einem Banach-
Raum als integrierbar definiert, wenn ihre punktweise Norm es ebenfalls ist.
Ω
Definition 2.43
(Messbarkeit/Integrierbarkeit für vektorwertige Abbildungen)
Seien
(
Ω
,
F
,
μ
)
ein Maßraum und
(
X
,
·
X
)
ein Banach-Raum.
Eine Treppenfunktion
f
:
Ω
→
X
, d.h.
f
(
Ω
)
endlich, wird
messbar
genannt, falls
f
−
1
(
{
x
}
)
∈
F
für alle
x
∈
X
. Eine allgemeine Abbildung
f
:
Ω
→
X
heißt dann
μ
-
messbar
oder messbar, wenn es eine Folge
von messbaren Treppenfunktionen gibt,
die punktweise fast-überall gegen
f
konvergiert.
(
f
n
)
Gilt
Ω
f
(
t
)
X
d
μ
(
t
)
<
∞
, so heißt
f integrierbar
. Das
Integral
sei gegeben durch
μ
f
−
1
}
)
x
∑
(
)
μ
(
)=
μ
=
(
{
f
t
d
t
f
d
x
Ω
Ω
x
∈f
(Ω)
falls
f
eine Treppenfunktion ist, andernfalls sei
f
(
t
)
d
μ
(
t
)=
f
d
μ
=
lim
n
f
n
d
μ
→
∞
Ω
Ω
Ω
mit
(
f
n
)
eine Folge von Treppenfunktionen, die punktweise fast-überall gegen
f
kon-
vergiert.
