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Definition 2.39
Es sei
Ω eine messbare Menge.
( Ω
,
F
,
μ )
ein Maßraum und
1.
Dann ist durch
( μ Ω )(
Ω )
F
)= μ (
A
:
A
A
Ω definiert.
ein weiteres Maß auf
Ω
, die Einschränkung von
μ
auf
2.
Zusammen mit der
σ
-Algebra
Ω A
F | Ω = {
A
F }
( Ω ,
μ Ω )
Ω eingeschränkten Maßraum .
definiert
F | Ω ,
den auf
Beispiel 2.40
R d ,
R d
d
R d
(
B(
)
)
Ω
Für
,
L
und
nichtleer, offen ergibt sich der eingeschränk-
d
te Maßraum
( Ω
,
B ( Ω )
,
L
Ω )
. Aus ihm geht die Standard-Lebesgue-Integration
auf
Ω
hervor.
μ = ∑ n =0 δ n kann auch als Einschränkung aufgefasst werden:
Der Deltakamm
0
0
μ = H
N . Man bemerke, dass
μ
im Gegensatz zu
H
σ
-endlich ist.
k -integrierbares
Ω ergibt
k
Ω ein endliches Maß, während
μ = H
Für ein
H
k
H
für k
<
d nicht
σ
-endlich ist. Dies spielt eine Rolle für Sätze, in denen die
(
σ
-)Endlichkeit vorausgesetzt wird.
Hat man ein bestimmtes Maß auf einer
σ
-Algebra gegeben, so ist es möglich, Maß
und
-Algebra so zu erweitern, dass sich in gewisser Weise maximal viele Mengen sinn-
voll messen lassen.
σ
Definition 2.41 (Nullmengen, fast überall,
μ
-Messbarkeit)
μ )
Sei
,
F
,
ein Maßraum.
Gibt es zu N
Ω
ein A
F
mit N
A und
μ (
A
)=
0, so wird N
μ
-Nullmenge
genannt.
Ist eine Aussage P
(
x
)
wahr für alle x
A , so dass
Ω \
A eine Nullmenge ist, so
sagt man, P
(
x
)
gilt
μ
fast überall in
Ω
.
Die
σ
-Algebra
F μ
, gegeben durch
A
F μ
A
=
B
N ,
B
F
, N Nullmenge,
ist die Vervollständigung von
F
bezüglich
μ
. Ihre Elemente sind die
μ
-messbaren Men-
gen .
Für A
F μ
μ (
)= μ (
)
F
setzt man
A
B
mit obigem B
fort.
Die Fortsetzung von
μ
auf
F μ
gibt ebenfalls ein Maß, wir bezeichnen es stillschwei-
R d
gend ebenfalls mit
μ
. Für das Lebesgue-Maß liefert die Konstruktion
B (
) L
d die
R d
Lebesgue-messbaren Mengen . Der zu einem
Ω B (
) L
d assoziierte Maßraum
Ω
Ω
d
B(Ω) L
,
d ,
L
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