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Definition 2.39
Es sei
Ω
eine messbare Menge.
(
Ω
,
F
,
μ
)
ein Maßraum und
1.
Dann ist durch
(
μ
Ω
)(
∩
Ω
)
∈
F
)=
μ
(
A
:
A
A
Ω
definiert.
ein weiteres Maß auf
Ω
, die
Einschränkung von
μ
auf
2.
Zusammen mit der
σ
-Algebra
∩
Ω
A
F
|
Ω
=
{
A
∈
F
}
(
Ω
,
μ
Ω
)
Ω
eingeschränkten Maßraum
.
definiert
F
|
Ω
,
den
auf
Beispiel 2.40
R
d
,
R
d
d
R
d
(
B(
)
)
Ω
⊂
•
Für
,
L
und
nichtleer, offen ergibt sich der eingeschränk-
d
te Maßraum
(
Ω
,
B
(
Ω
)
,
L
Ω
)
. Aus ihm geht die Standard-Lebesgue-Integration
auf
Ω
hervor.
μ
= ∑
n
=0
δ
n
kann auch als Einschränkung aufgefasst werden:
•
Der Deltakamm
0
0
μ
= H
N
. Man bemerke, dass
μ
im Gegensatz zu
H
σ
-endlich ist.
k
-integrierbares
Ω
ergibt
k
Ω
ein endliches Maß, während
μ
= H
•
Für ein
H
k
H
für
k
<
d
nicht
σ
-endlich ist. Dies spielt eine Rolle für Sätze, in denen die
(
σ
-)Endlichkeit vorausgesetzt wird.
Hat man ein bestimmtes Maß auf einer
σ
-Algebra gegeben, so ist es möglich, Maß
und
-Algebra so zu erweitern, dass sich in gewisser Weise maximal viele Mengen sinn-
voll messen lassen.
σ
Definition 2.41
(Nullmengen, fast überall,
μ
-Messbarkeit)
(Ω
μ
)
Sei
,
F
,
ein Maßraum.
•
Gibt es zu
N
⊂
Ω
ein
A
∈
F
mit
N
⊂
A
und
μ
(
A
)=
0, so wird
N
μ
-Nullmenge
genannt.
•
Ist eine Aussage
P
(
x
)
wahr für alle
x
∈
A
, so dass
Ω
\
A
eine Nullmenge ist, so
sagt man,
P
(
x
)
gilt
μ
fast überall in
Ω
.
•
Die
σ
-Algebra
F
μ
, gegeben durch
A
∈
F
μ
⇔
A
=
B
∪
N
,
B
∈
F
,
N
Nullmenge,
ist die
Vervollständigung von
F
bezüglich
μ
. Ihre Elemente sind die
μ
-messbaren Men-
gen
.
•
Für
A
∈
F
μ
μ
(
)=
μ
(
)
∈
F
setzt man
A
B
mit obigem
B
fort.
Die Fortsetzung von
μ
auf
F
μ
gibt ebenfalls ein Maß, wir bezeichnen es stillschwei-
R
d
gend ebenfalls mit
μ
. Für das Lebesgue-Maß liefert die Konstruktion
B
(
)
L
d
die
R
d
Lebesgue-messbaren Mengen
. Der zu einem
Ω
∈
B
(
)
L
d
assoziierte Maßraum
Ω
Ω
d
B(Ω)
L
,
d
,
L