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R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet,
Ω
mit
Ω
⊂
Ω
⊂⊂
Ω
Aufgabe
6.39
.
Es sei
ein beschränktes
und
u
0
(
Ω
\
Ω
)
u
0
Lipschitz-Teilgebiet,
q
∈
]
1,
∞
[
mit
q
≤
d
/
(
d
−
1
)
∈
BV
mit
L
≤
≤
R
fast-
Ω
\
Ω
. Ferner sei
u
∗
∈
(Ω)
überall in
BV
eine Lösung der TV-Inpainting-Aufgabe (6.69).
u
∗
≤
1.
Beweisen Sie, dass
L
≤
R
fast-überall in
Ω
gilt.
2.
Zeigen Sie weiterhin, dass für
h
:
R
→
R
streng monoton steigend, stetig di
ffer
enzierbar
h
∞
<
∞
u
∗
löst das TV-Inpainting-Problem zu
h
u
0
◦
◦
∈
(Ω
\
Ω
)
und
gilt:
h
BV
.
R
2
ein Gebiet und
u
:
Ω
⊂
Ω
→
(
x
0
,
y
0
)
∈
Aufgabe
6.40
.
Es sei
R
in einer Umgebung des Punktes
Ω
zweimal stetig differenzierbar mit
u
(
x
0
,
y
0
)=
0. Ferner sei das Null-Level-Set
{
u
=
0
}
lokal
]
−ε
ε
[
→
durch
x
,
y
:
,
R
zweimal stetig differenzierbar bezüglich der Bogenlänge parametrisiert,
1 und
u
x
)
=
x
|
y
|
2
2
also
x
(
0
)=
x
0
,
y
(
0
)=
y
0
,
|
+
|
=
(
s
)
,
y
(
s
0.
Beweisen Sie: Nimmt man an,
x
div
(
∇
)
x
)
=
u
)
(
s
)
,
y
(
s
)
(
∇
)
(
∇
u
(
s
)
,
y
(
s
0
sowie
)
x
=
κ
u
(
s
)
,
y
(
s
gilt für ein
κ
∈
R
und alle
s
∈
]
−
ε
,
ε
[
, so folgt die Existenz eines
ϕ
0
∈
R
, so dass
(
x
,
y
)
die
Darstellung
x
(
)=
x
0
+
(
κ
+
ϕ
0
)
s
sin
s
y
(
s
)=
y
0
+
cos
(
κ
s
+
ϕ
0
)
für alle
s
∈
]
−
ε
,
ε
[
besitzt. Insbesondere parametrisiert
(
x
,
y
)
ein Geradenstück oder Kreissegment
mit Krümmung
κ
.
Aufgabe
6.41
.
Es sei
t
>
0,
p
∈
]
1,
∞
[
,
σ
>
0 und
s
0
so, dass
1
t
p
−
1
s
0
≥
t
und
s
0
<
falls
p
<
2.
σ
(
2
−
p
)
Zeigen Sie: Die Folge
(
s
n
)
, definiert durch die Iteration
s
p−
1
−
− σ
t
s
n
n
s
n
+1
=
+
s
n
,
s
p−
2
n
1
+
σ
(
p
−
1
)
>
ist wohl-definiert, erfüllt
s
n
0 für jedes
n
und ist monoton fallend. Sie konvergiert gegen das
eindeutige
s
, welches der Gleichung
s
s
p
−
1
+
σ
=
t
genügt.
Aufgabe
6.42
.
Implementieren Sie das primale-duale Verfahren zum variationellem Entrauschen
(Tabelle 6.1) und testen Sie es an dem in
OnlinePLUS
bereitgestellten Bild.
R
(2
K
+1)
×
(2
K
+1)
Aufgabe
6.43
.
Für
K
≥
1 stelle die Matrix
κ
∈
einen Faltungskern dar, der durch
K
i
=
−
K
j
=
−
−
K
≤
i
,
j
≤
K
indiziert wird und
κ
i
,
j
=
1 erfüllt. Bezeichne weiterhin für
N
,
M
≥
1
∑
∑
K
K
mit
A
h
:
R
(
N
+2
K
)
×
(
M
+2
K
)
→
R
N×M
den diskreten Faltungsoperator
K
∑
K
∑
(
A
h
u
)
i
,
j
=
u
)
κ
k
,
l
.
(
i
+
K
−
k
)
,
(
j
+
K
−
k
k
=
−
K
l
=
−
K
