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R
d
ein Gebiet,
N
Ω
⊂
∈
Aufgabe
6.35
.
Es sei
N
und
μ
ein
σ
-endliches, positives Radon-Maß auf
dicht in jedem
L
p
,
R
N
,
R
N
Ω
. Zeigen Sie, dass dann
D
(
Ω
)
μ
(
Ω
)
mit 1
≤
p
<
∞
ist.
L
p
,
R
N
Hinweis:
Verwenden Sie, für
u
ein Abschneideargument, den Satz von
Lusin und die innere Regularität eines Borel-Maßes (siehe zum Beispiel [55, 7]), um
eine approximierende Folge
∈
μ
(
Ω
)
u
n
,
R
N
zu finden. Benutzen Sie anschließend
Mollifier zur gleichmäßigen Approximation von
u
(
)
in
C
c
(
Ω
)
,
R
d
∈C
c
(Ω
)
durch eine Folge in
,
R
N
D
(
Ω
)
.
R
d
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet. Weisen Sie
Ω
⊂
Aufgabe
6.36
.
Es sei
ein Gebiet und
−
(
∂
Ω
)
d
1
nach, dass die Totalvariation von
u
.
Hinweis:
Setzen Sie mittels der Definition eines Lipschitz-Gebietes das innere Nor-
malenfeld
=
χ
Ω
gegeben ist durch TV
(
u
)=
H
∂
Ω
fort, so dass
1 gilt. Kon-
struieren Sie anschließend mit Mollifiern und Abschneidefunktionen eine Folge
−
ν
ε
∈D
(
Ω
−
ν
in einer Umgebung
Ω
0
von
ν
∞
≤
∂
Ω
punktweise
−
,
R
d
d
1
-fast-überall gegen
)
mit
ν
ε
∞
≤
1, die auf
H
−ν
konvergiert. Zeigen Sie schließlich, dass diese Folge eine maximierende Folge in
der Definition von TV ist.
Ω =
k
=1
Ω
k
und
R
d
beschränkte Lipschitz-Gebiete mit
Ω
K
⊂
Aufgabe
6.37
.
Es seien
Ω
,
Ω
1
,...,
R
so
, d
ass
sich jedes
u
k
Ω
k
pa
arweise disjunkt. Ferner sei
u
:
Ω
→
=
u
|
Ω
k
zu einem Element in
1
C
(Ω
k
)
Γ
l
,
k
= Ω
l
∩
Ω
k
∩
Ω
fortsetzen lässt. Zeigen Sie, mit
, die folgende Identität
K
k
=1
−
+
l<k
u
l
u
k
d
1
.
(
)=
Ω
k
|∇
u
k
|
Γ
l
,
k
|
−
|
TV
u
d
x
d
H
Ω
l
,
k
Hinweis:
Wählen Sie für ein
ε
>
0 eine Umgebung
des Randstückes
Γ
l
,
k
mit
|
Ω
l
,
k
| <
ε
u
k
u
l
. Approximieren Sie dort mit glatten Funktionen sgn
(
−
)
ν
(analog zu
1
≤l<k≤K
Ω
l
,
k
, fast-überall das negative Vorzeichen
Aufgabe 6.36) sowie, auf
Ω
k
\
−
∇
u
k
|∇
. Die stückweise definierten Funktionen mit glatten Abschneidefunktionen
geeignet zusammengesetzt, können Sie so mit
u
k
|
n
,
R
d
ε →
0 eine Folge
(
ϕ
)
in
D
(
Ω
)
mit
−
∇
u
k
|∇
n
d
−
1
-fast-überall
ϕ
∞
≤
1 konstruieren, die fast-überall gegen
auf
Ω
k
und
H
u
k
|
u
k
u
l
(
−
)
ν
gegen
auf
Γ
l
,
k
konvergiert.
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet,
q
Aufgabe
6.38
.
Es sei ein Ω
⊂
∈
]
1,
∞
[
mit
q
≤
d
/
(
d
−
1
)
und
u
0
L
1
∈
(Ω)
λ >
sowie
0.
Beweisen Sie die Existenz eines Minimierers der
L
1
-TV-Entrauschaufgabe
1.
u
0
min
Ω
|
u
−
|
d
x
+
λ
TV
(
u
)
.
(6.101)
u
∈
L
q
(Ω)
h
∞
<
∞
2.
Zeigen Sie: Ist
h
:
R
→
R
streng monoton steigend, stetig differenzierbar mit
und
u
∗
eine Lösung von (6.101) zu den Daten
u
0
, so folgt:
h
u
∗
ist eine Lösung von (6.101)
◦
u
0
.
zu den Daten
h
◦
Hinweis:
Benutzen Sie den Satz von Fubini und die Aussage aus Übungsaufga-
be 6.34.
