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3.
Zeigen Sie, unter der Annahme, dass
k
der Bedingung (6.100) genügt, dass für geeignete
q
die Minimierungsaufgabe
1
q
+
p
u
0
q
d
x
m
u
p
d
x
min
Ω
|
u
∗
k
−
|
Ω
|∇
|
u
∈
L
q
(Ω)
(
Ω
)
0 einen eindeutigen Minimierer
u
∗
besitzt.
für jedes
u
0
L
q
∈
und
λ
>
Aufgabe
6.30
.
Zeigen Sie die Aussagen in Lemma 6.99.
1.
Der Beweis des ersten Punkts kann beispielsweise durch die Betrachtung der adjungierten
Glättungsoperatoren
M
n
aus Satz 6.88, das heißt
k
=0
ϕ
k
T
−t
n
η
k
(
u ∗
K
ψ
k
,
n
)
,
M
n
u
¯
=
M
n
u
M
n
u
u
0
und dem Nachweis der Eigenschaften
∈D
(
Ω
)
sowie
|
Ω
→
=
u
|
Ω
in
H
m
,
p
(
Ω
)
erbracht werden.
2.
Die Aussage des zweiten Punkts kann mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (Satz 2.81)
auf die Aussage des ersten Punkts zurückgeführt werden.
R
N×N
und
W
R
M×N
Matrizen.
Aufgabe
6.31
.
Es seien
M
,
N
∈
N
mit
N
,
M
≥
1 sowie
S
∈
∈
0 folgt
x
T
Sx
Zeigen Sie: Ist
S
positiv definit auf ker
(
W
)
, das heißt aus
Wx
=
0 und
x
=
>
0,
so ist die Blockmatrix
SW
T
W
0
A
=
invertierbar.
R
d
ein Gebiet,
N
,
R
N
Aufgabe
6.32
.
Es sei
Ω
⊂
∈
N
und
L
:
D
(
Ω
)
→
R
so, dass es eine Konstante
,
R
N
≥
|
(
ϕ
)
|≤
ϕ
∞
für jedes
ϕ ∈D
(Ω
)
C
0 gibt mit
L
C
. Zeigen Sie, dass
L
eindeutig stetig
,
R
N
auf
C
0
(
Ω
)
fortgesetzt werden kann und folglich ein vektorwertiges endliches Radon-Maß
,
R
N
μ ∈
M(Ω
)
existiert, so dass
,
R
N
L
(
ϕ
)=
Ω
ϕ
d
μ
für alle
ϕ
∈D
(
Ω
)
.
,
R
N
Hinweis:
Benutzen Sie die Definition von
C
0
(
Ω
)
sowie die Sätze 3.13 und 2.62.
Aufgabe
6.33
.
Zeigen Sie die Aussagen in Lemma 6.103.
Hinweis:
1.
Benutzen Sie die Resultate aus Aufgabe 6.32 und die Charakterisierung von
M(Ω
,
R
d
)
als Dualraum.
2.
Kombinieren Sie die Definition des schwachen Gradienten mit der Identifikati-
on
,
R
d
,
R
d
)
∗
.
M
(
Ω
)=
C
0
(
Ω
3.
Orientieren Sie sich an dem Beweis von Lemma 6.73.
R
d
Aufgabe
6.34
.
Es sei
Ω
⊂
→
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet,
h
:
R
R
streng monoton
h
∞
<
∞
steigend, stetig differenzierbar und genüge
.
∈
(Ω)
◦
(Ω)
Zeigen Sie: Für jedes
u
BV
ist auch
h
u
in BV
und es gilt
h
(
h
∞
TV
TV
(
h
◦
u
)=
t
)
Per
(
{
u
≤
t
}
)
d
t
≤
(
u
)
.
R
