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1.
Implementieren Sie das in Tabelle 6.2 beschriebene primale-duale Verfahren zur variatio-
nellen Entfaltung durch Lösung der Aufgabe
q
q
p
p
U 0
+ λ∇ h u
A h u
min
q
p
u
R ( N +2 K ) × ( M +2 K )
R N × M und Parameter
für gegebene Daten U 0
λ >
0. Testen Sie es an dem in Online-
PLUS zur Verfügung gestellten Bild.
Wie lautet ein Verfahren, welches zusätzlich die Besc hrä nkungen U 0
U 0 für 1
2.
u i , j
2 K mit U 0
min i , j U i , j
max i , j U i , j
und U 0
i
N
+
2 K ,1
j
M
+
=
=
realisiert?
3.
Implementieren und testen Sie diese Beschränkungen. Sind Unterschiede in den Ergebnis-
sen im Vergleich zu dem Verfahren ohne Beschränkungen feststellbar?
R N×M× 2 ein Sattelpunkt des zu der diskreten Inpainting-
Aufgabe assoziierten Lagrange-Funktionals
u , w )
R N×M
Aufgabe 6.44 .
Es sei
(
×
p
p
p
w
falls p
>
1
(
)=( h u , w
)+
} (
)
L
u , w
I
u
{
| Ω h \ Ω h =
v
U 0
} (
)
=
I
w
falls p
1,
{
w
1
nach Beispiel 6.145.
u i , j
Beweisen Sie das diskret e M aximumprinzip U 0
U 0 für alle 1
1.
i
N und
M mit U 0 und U 0 dem Minimum beziehungsweise Maximum der Werte U i , j .
Folgern Sie daraus die a-priori-Abschätzung
1
j
u
U 0
.
>
2.
Gewinnen Sie für p
1 mit Hilfe des dualen Problems und der Youngschen Zahlenunglei-
chung die folgende a-priori-Abschätzung an w :
2 p− 1
p
p
1
1 h U 0
falls p
2,
p
w
p
p
p p
1
p
1
h U 0
falls p
<
2.
p
2
3.
Schätzen Sie mit Hilfe des Konvergenzbeweises von Satz 6.141 die Norm der Iterierten
(
u n , w n
)
des primalen-dualen Verfahrens nach Tabelle 6.3 ab.
Aufgabe 6.45 . Implementieren Sie das primale-duale Inpainting-Verfahren nach Tabelle 6.3 und
testen Sie es an dem entsprechenden Beispielbild aus OnlinePLUS .
Zusatz: Verwenden Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 6.44, um eine modifizierte Dualitätslücke
˜
nach Beispiel 6.144 aufzustellen. Weisen Sie deren Konvergenz ˜
u n , w n
G
G (
)
0 für die Iterierten
nach und modifizieren Sie das Programm so, dass es abbricht, sobald ˜
u n , w n
(
)
G
einen bestimmten
Wert unterschritten hat.
N positiv, die Abbildung A h : R N 1 ×M 1
<
, N 1 , N 2 , M 1 , M 2
Aufgabe 6.46 .
Es seien 1
p
R N 2 × M 2 linear, surjektiv und es gelte A h 1
=
0. Betrachte die Minimierungsaufgabe
p
p
R N 1 ×M 1 h u
+
} (
)
min
I
{
u
A h v
=
U 0
p
u
 
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