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In-Depth Information
1.
Implementieren Sie das in Tabelle 6.2 beschriebene primale-duale Verfahren zur variatio-
nellen Entfaltung durch Lösung der Aufgabe
q
q
p
p
U
0
−
+
λ∇
h
u
A
h
u
min
q
p
u
∈
R
(
N
+2
K
)
×
(
M
+2
K
)
R
N
×
M
und Parameter
für gegebene Daten
U
0
∈
λ
>
0. Testen Sie es an dem in
Online-
PLUS
zur Verfügung gestellten Bild.
Wie lautet ein Verfahren, welches zusätzlich die Besc
hrä
nkungen
U
0
U
0
für 1
2.
≤
u
i
,
j
≤
≤
2
K
mit
U
0
min
i
,
j
U
i
,
j
max
i
,
j
U
i
,
j
und
U
0
i
≤
N
+
2
K
,1
≤
j
≤
M
+
=
=
realisiert?
3.
Implementieren und testen Sie diese Beschränkungen. Sind Unterschiede in den Ergebnis-
sen im Vergleich zu dem Verfahren ohne Beschränkungen feststellbar?
R
N×M×
2
ein Sattelpunkt des zu der diskreten Inpainting-
Aufgabe assoziierten Lagrange-Funktionals
u
∗
,
w
∗
)
∈
R
N×M
Aufgabe
6.44
.
Es sei
(
×
p
∗
p
∗
p
∗
w
falls
p
>
1
(
)=(
∇
h
u
,
w
)+
}
(
)
−
L
u
,
w
I
u
{
|
Ω
h
\
Ω
h
=
v
U
0
}
(
)
=
I
w
falls
p
1,
{
∞
≤
w
1
nach Beispiel 6.145.
u
i
,
j
≤
Beweisen Sie das diskret
e M
aximumprinzip
U
0
U
0
für alle 1
1.
≤
≤
i
≤
N
und
M
mit
U
0
und
U
0
dem Minimum beziehungsweise Maximum der Werte
U
i
,
j
.
Folgern Sie daraus die a-priori-Abschätzung
1
≤
j
≤
u
∗
∞
≤
U
0
∞
.
>
2.
Gewinnen Sie für
p
1 mit Hilfe des dualen Problems und der Youngschen Zahlenunglei-
chung die folgende a-priori-Abschätzung an
w
∗
:
⎨
⎩
2
p−
1
p
p
−
1
1
∇
h
U
0
falls
p
≥
2,
p
−
w
∗
p
∗
≤
p
p
p
−
1
p
−
1
∇
h
U
0
falls
p
<
2.
p
−
2
3.
Schätzen Sie mit Hilfe des Konvergenzbeweises von Satz 6.141 die Norm der Iterierten
(
u
n
,
w
n
)
des primalen-dualen Verfahrens nach Tabelle 6.3 ab.
Aufgabe
6.45
.
Implementieren Sie das primale-duale Inpainting-Verfahren nach Tabelle 6.3 und
testen Sie es an dem entsprechenden Beispielbild aus
OnlinePLUS
.
Zusatz: Verwenden Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 6.44, um eine modifizierte Dualitätslücke
˜
nach Beispiel 6.144 aufzustellen. Weisen Sie deren Konvergenz
˜
u
n
,
w
n
G
G
(
)
→
0 für die Iterierten
nach und modifizieren Sie das Programm so, dass es abbricht, sobald
˜
u
n
,
w
n
(
)
G
einen bestimmten
Wert unterschritten hat.
N
positiv, die Abbildung
A
h
:
R
N
1
×M
1
≤
<
∞
,
N
1
,
N
2
,
M
1
,
M
2
∈
→
Aufgabe
6.46
.
Es seien 1
p
R
N
2
×
M
2
linear, surjektiv und es gelte
A
h
1
=
0. Betrachte die Minimierungsaufgabe
p
p
R
N
1
×M
1
∇
h
u
+
}
(
)
min
I
{
u
A
h
v
=
U
0
p
u
∈