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→
Aufgabe
6.10
.
Sei
F
:
X
R
∞
konvex auf dem reellen normierten Raum
X
. Zeigen Sie:
Ist
w
1
und
w
2
w
1
w
2
∈ ∂
(
)
∈ ∂
(
)
∈
+(
− λ
)
∈ ∂
(
)
1.
F
u
F
u
für ein
u
X
, so auch
λ
1
F
u
für alle
λ
∈
[
0, 1
]
.
u
n
,
w
n
X
∗
mit
w
n
u
n
2.
Ist
F
unterhalbstetig, so gilt: Für eine Folge
((
))
in
X
×
∈
∂
F
(
)
und
∗
u
n
u
sowie
w
n
→
w
gilt stets
w
∈
∂
F
(
u
)
.
Die Aussage in Punkt 2 gilt auch, wenn
u
n
u
und
w
n
→
3.
w
.
4.
Die Menge
∂
F
(
u
)
,
u
∈
X
ist schwach* folgenabgeschlossen.
Aufgabe
6.11
.
Seien mit
X
,
Y
reelle Banach-Räume bezeichnet. Beweisen Sie die Rechenregel
∂
(
F
◦
A
∗
◦
∂
A
)=
X
linear, stetig und surjektiv.
Hinweis:
Benutzen Sie den Satz von der offenen Abbildung (Satz 2.16) für
B
:
Y
F
◦
A
für
F
:
X
→
R
∞
konvex und
A
:
Y
→
×
Y
∗
, um zu zeigen, dass
R
→
X
×
R
mit
B
:
(
v
,
t
)
→
(
Av
,
w
,
v
Y
∗
×
Y
+
t
)
und
w
∈
R
s
K
2
=
{
(
Av
,
s
)
∈
X
×
≤
F
(
Au
)+
w
,
v
−
u
Y
∗
×Y
}
∈
für jedes
u
dom
F
ein nichtleeres Inneres besitzt.
Aufgabe
6.12
.
Seien
X
,
Y
reelle normierte Räume, dom
A
⊂
Y
ein dichter Unterraum von
Y
,
A
: dom
A
→
X
linear und
F
:
X
→
R
∞
konvex. Weisen Sie die Gültigkeit der folgenden hinrei-
A
∗
◦
∂
A
mit
A
∗
:
X
∗
⊃
dom
A
∗
→
Y
∗
aus Definition 2.25
chenden Kriterien für
∂
(
F
◦
A
)=
F
◦
nach:
1.
F
ist stetig in einem Punkt
u
0
∈
∩
(
)
dom
F
rg
A
,
2.
X
,
Y
sind vollständig und
A
ist surjektiv.
Hinweis:
Zeigen Sie, dass
A
in dieser Situation eine offene Abbildung ist.
Aufgabe
6.13
.
Seien
K
1
,
K
2
⊂
X
nichtleere, konvexe Teilmengen eines normierten Raumes
X
und
X
=
X
1
+
X
2
mit Unterräumen
X
1
,
X
2
und stetigen
P
i
∈L
(
X
,
X
i
)
, so dass id
=
P
1
+
P
2
. Zeigen
Sie:
1.
Sind
K
i
disjunkt und jeweils relativ offen bezüglich
X
i
, d.h.
(
K
i
−
x
)
∩
X
i
ist relativ offen in
X
, so existieren
x
∗
∈
X
∗
,
x
∗
=
∈
λ ∈
X
i
für jedes
x
0 und
R
mit
x
∗
,
x
x
∗
,
x
Re
≤
λ
für alle
x
∈
K
1
und
Re
≥
λ
für alle
x
∈
K
2
.
Hinweis:
Trennen Sie
{
0
}
von der offenen Menge
K
1
−
K
2
.
Die Aussage ist immer noch wahr wenn int
X
i
(
K
i
)
2.
nichtleer und disjunkt sind. Dabei ist
int
X
i
(
K
i
)
die Menge aller
x
∈
K
i
, für die 0 ein relativer innerer Punkt von
(
K
i
−
x
)
∩
X
i
in
X
i
ist.
Hinweis:
Beweisen Sie zunächst
K
i
=
int
X
i
(
K
i
)
(siehe auch Aufgabe 6.9).
→
Aufgabe
6.14
.
Gegeben seien konvexe Funktionale
F
1
,
F
2
:
X
R
∞
auf einem reellen normierten
Raum
X
mit der Eigenschaft
X
=
X
1
+
X
2
für Unterräume
X
i
und stetige
P
i
∈L
(
X
,
X
i
)
mit
=
P
1
+
id
P
2
.
Es gebe einen Punkt
x
0
dom
F
2
derart, dass
x
i
x
0
x
i
mit
x
i
∈
dom
F
1
∩
→
F
i
(
+
)
∈
X
i
stetig in
0 ist. Beweisen Sie für diesen Fall die Subgradienten-Identität
∂
(
F
1
+
F
2
)=
∂F
1
+
∂F
2
.
