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Aufgabe
6.3
.
Zeigen Sie, dass es zu jedem nicht-trivialen Banach-Raum
X
ein nicht-koerzives
Funktional
F
:
X
→
R
∞
gibt, welches einen eindeutigen Minimierer besitzt.
Aufgabe
6.4
.
Sei
X
∗
der Dualraum eines separablen normierten Raumes. Beweisen Sie, dass ein
Funktional
F
:
X
∗
→
, welches nach unten beschränkt, koerziv und schwach* folgenunter-
halbstetig ist, einen Minimierer in
X
∗
besitzt.
R
∞
Aufgabe
6.5
.
Es sei
Φ
:
X
→
Y
eine affin lineare Abbildung zwischen Vektorräumen
X
,
Y
, also
Φ
λ
y
=
λ
Φ
(
x
+(
1
−
λ
)
x
)+(
1
−
λ
)
Φ
(
y
)
für alle
x
,
y
∈
X
und
λ
∈
K
.
Zeigen Sie die Existenz eines
y
0
∈
Y
und eines linearen
F
:
X
→
Y
für welches gilt:
Φ
(
x
)=
y
0
+
Fx
für alle
x
∈
X
.
Aufgabe
6.6
.
eine lineare und stetige Abbildung zwischen Banach-Räumen
X
und
Y
. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen:
1.
Es sei
A
∈L
(
X
,
Y
)
Für ein
u
0
∈
Y
und
p
≥
1 ist
F
:
X
→
R
gegeben durch
p
Y
u
0
)=
Au
−
F
(
u
p
koerziv auf
X
.
abgeschlossen und insbesondere
A
−
1
2.
Es ist
A
injektiv, rg
(
A
)
:rg
(
A
)
→
X
stetig.
Aufgabe
6.7
.
Gegeben seien Banach-Räume
X
und
Y
, dabei sei
X
reflexiv. Weiterhin definiere
|·|
X
:
X
→
R
eine zulässige Halbnorm auf
X
, das heißt, es gibt ein lineares und stetiges
P
:
X
→
<
≤
<
∞
X
und Konstanten 0
c
C
mit
X
≤|
|
X
≤
X
∈
c
Pu
u
C
Pu
für alle
u
X
.
X
|
∈L
(
)
{
∈
|
X
=
}
=
(
)
Zeigen Sie: Ist
A
X
,
Y
stetig invertierbar auf
u
u
0
ker
P
, so existiert ein
Minimierer des Tichonow-Funktionals
F
mit
p
Y
q
X
u
0
)=
Au
−
+
λ
|
u
|
F
(
u
p
q
für beliebige
u
0
0.
Zusatz: Die Aussage bleibt wahr, wenn
X
der Dualraum eines separablen normierten Raumes
ist und
A
schwach*-schwach stetig ist.
∈
Y
,
p
,
q
≥
1 und
λ
>
∈
X
=
Aufgabe
6.8
.
Gegeben sei ein reeller Hilbert-Raum
X
, ein
u
X
mit
u
1.
Weisen Sie nach: Aus
w
∈
X
mit
(
w
,
v
)
≥
0 für alle
v
∈
X
mit
(
u
,
v
)
<
0 folgt:
w
+
μ
u
=
0 für
μ ≥
ein
0.
x
1
Aufgabe
6.9
.
Sei
K
⊂
X
eine nichtleere konvexe Teilmenge eines normierten Raumes mit
B
r
(
)
⊂
K
für ein
x
1
0. Zeigen Sie, dass für jedes
x
0
x
λ
)
⊂
∈
>
∈
λ ∈
]
]
(
X
und
r
K
u
nd
0, 1
auch
B
K
,
λ
r
x
λ
=
λ
x
1
x
0
. Folgern Sie daraus: Ist int
+(
1
−
λ
)
(
K
)
=
∅
, so gilt int
(
K
)=
K
.
