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∈L
(
)
(
)
Aufgabe
6.15
.
Zeigen Sie: Sind
X
,
Y
reelle Banach-Räume und ist
A
Y
,
X
derart, dass rg
A
abgeschlossen ist, es einen Unterraum
X
1
⊂
X
gibt mit
X
=
X
1
+
rg
(
A
)
, sowie Abbildungen
P
1
∈L
(
X
,
X
1
)
und
P
2
∈L
(
(
))
=
P
1
+
→
X
,rg
A
mit id
P
2
, so gilt für konvexe
F
:
X
R
∞
, für die es
einen Punkt
x
0
gibt, so dass
x
1
x
0
x
1
,
x
1
∈
dom
F
∩
rg
(
A
)
→
F
(
+
)
∈
X
1
im Nullpunkt stetig ist,
die Rechenregel
A
∗
◦
∂
∂
(
F
◦
A
)=
F
◦
A
.
Aufgabe
6.16
.
Finden Sie mit Hilfe der Aussage in Aufgabe 6.15 einen alternativen Beweis für den
dritten Punkt in Satz 6.51.
Aufgabe
6.17
.
Es seien
X
,
Y
reelle Banach-Räume und
A
∈L
(
X
,
Y
)
injektiv mit rg
(
A
)
dicht in
Y
.
Zeigen Sie:
1.
A
−
1
mit dom
A
−
1
=
rg
(
A
)
ist eine abgeschlossene, dicht definierte lineare Abbildung,
A
∗
)
−
1
A
∗
)
−
1
A
∗
)
(
(
=
(
2.
mit dom
rg
ist eine abgeschlossene, dicht definierte lineare Abbil-
dung,
A
−
1
)
∗
=(
A
∗
)
−
1
.
(
3.
es gilt
R
d
ein Gebiet,
F
:
L
2
Aufgabe
6.18
.
R
konvex und Gâteaux-differenzierbar.
Betrachten Sie die Aufgabe, folgende Funktionale zu minimieren:
Es sei
Ω
⊂
(
Ω
)
→
F
1
(
)
F
1
=
+
F
2
(
)
F
2
=
+
min
u
,
F
I
,
min
u
,
F
I
.
{
u
2
≤
1
}
{
v
∞
≤
1
}
u
∈
L
2
(Ω)
u
∈
L
2
(Ω)
Berechnen Sie mit Hilfe des Subdifferential-Kalküls die Subgradienten von
F
1
und
F
2
. Leiten Sie
anschließend Optimalitätsbedingungen her und verifizieren Sie, dass diese äquivalent zu denen
in Beispiel 6.37 sind.
Aufgabe
6.19
.
Es seien
X
,
Y
nichtleere Mengen und
F
:
X
×
Y
→
R
∞
. Zeigen Sie:
sup
y
inf
x
F
(
x
,
y
)
≤
inf
x
sup
y
F
(
x
,
y
)
∈
X
∈
X
∈
Y
∈
Y
wobei das Supremum über nach oben unbeschränkte Mengen
∞
und Infimum über nach unten
−
∞
unbeschränkte Mengen
sei.
Aufgabe
6.20
.
Beweisen Sie die Aussagen in Lemma 6.59.
Aufgabe
6.21
.
Für
p
∈
[
1,
∞
[
sei
F
:
X
→
R
∞
ein positiv
p
-homogenes eigentliches Funktional auf
dem reellen Banach-Raum
X
, das heißt
p
F
F
(
α
u
)=
α
(
u
)
für alle
u
∈
X
und
α
≥
0.
Zeigen Sie:
1.
1 ist
F
∗
positiv
p
∗
-homogen mit
1
p
1
>
+
p
∗
=
Für
p
1.
1 ist
F
∗
=
X
∗
.
2.
Für
p
=
I
K
mit einer konvexen, abgeschlossenen Menge
K
⊂
3.
Für „
p
=
∞
“, das heißt
F
=
I
K
mit
K
=
∅
positiv absorbierend, also
α
K
⊂
K
für
α
∈
[
0, 1
]
,
ist
F
∗
positiv 1-homogen.
→
R
∞
stark koerziv.
Aufgabe
6.22
.
Es sei
X
ein reeller Banach-Raum und
F
:
X
Beweisen Sie: Die Fenchel-Konjugierte
F
∗
:
X
→
R
ist stetig.