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∈L (
)
(
)
Aufgabe 6.15 .
Zeigen Sie: Sind X , Y reelle Banach-Räume und ist A
Y , X
derart, dass rg
A
abgeschlossen ist, es einen Unterraum X 1
X gibt mit X
=
X 1 +
rg
(
A
)
, sowie Abbildungen
P 1 ∈L (
X , X 1 )
und P 2 ∈L (
(
))
=
P 1 +
X ,rg
A
mit id
P 2 , so gilt für konvexe F : X
R , für die es
einen Punkt x 0
gibt, so dass x 1
x 0
x 1
, x 1
dom F
rg
(
A
)
F
(
+
)
X 1 im Nullpunkt stetig ist,
die Rechenregel
A
(
F
A
)=
F
A .
Aufgabe 6.16 . Finden Sie mit Hilfe der Aussage in Aufgabe 6.15 einen alternativen Beweis für den
dritten Punkt in Satz 6.51.
Aufgabe 6.17 .
Es seien X , Y reelle Banach-Räume und A
∈L (
X , Y
)
injektiv mit rg
(
A
)
dicht in Y .
Zeigen Sie:
1.
A 1
mit dom A 1
=
rg
(
A
)
ist eine abgeschlossene, dicht definierte lineare Abbildung,
A ) 1
A ) 1
A )
(
(
=
(
2.
mit dom
rg
ist eine abgeschlossene, dicht definierte lineare Abbil-
dung,
A 1
) =(
A ) 1 .
(
3.
es gilt
R d
ein Gebiet, F : L 2
Aufgabe 6.18 .
R konvex und Gâteaux-differenzierbar.
Betrachten Sie die Aufgabe, folgende Funktionale zu minimieren:
Es sei
Ω
( Ω )
F 1 (
)
F 1 =
+
F 2 (
)
F 2 =
+
min
u
,
F
I
,
min
u
,
F
I
.
{
u
2
1
}
{
v
1
}
u
L 2
(Ω)
u
L 2
(Ω)
Berechnen Sie mit Hilfe des Subdifferential-Kalküls die Subgradienten von F 1 und F 2 . Leiten Sie
anschließend Optimalitätsbedingungen her und verifizieren Sie, dass diese äquivalent zu denen
in Beispiel 6.37 sind.
Aufgabe 6.19 .
Es seien X , Y nichtleere Mengen und F : X
×
Y
R . Zeigen Sie:
sup
y
inf
x
F
(
x , y
)
inf
x
sup
y
F
(
x , y
)
X
X
Y
Y
wobei das Supremum über nach oben unbeschränkte Mengen
und Infimum über nach unten
unbeschränkte Mengen
sei.
Aufgabe 6.20 .
Beweisen Sie die Aussagen in Lemma 6.59.
Aufgabe 6.21 .
Für p
[
1,
[
sei F : X
R
ein positiv p -homogenes eigentliches Funktional auf
dem reellen Banach-Raum X , das heißt
p F
F
( α
u
)= α
(
u
)
für alle u
X und
α
0.
Zeigen Sie:
1.
1 ist F positiv p -homogen mit
1
p
1
>
+
p =
Für p
1.
1 ist F =
X .
2.
Für p
=
I K mit einer konvexen, abgeschlossenen Menge K
3.
Für „ p
=
“, das heißt F
=
I K mit K
=
positiv absorbierend, also
α
K
K für
α [
0, 1
]
,
ist F positiv 1-homogen.
R stark koerziv.
Aufgabe 6.22 .
Es sei X ein reeller Banach-Raum und F : X
Beweisen Sie: Die Fenchel-Konjugierte F : X
R ist stetig.
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