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oder bei der
totalen verallgemeinerten Variation
(englisch: „total generalized variation“)
zweiter Ordnung
sup
u
div
2
v
d
x
1
,
,
S
d
×
d
TGV
2
α
(
)=
∈D
(Ω
)
∞
≤ α
∞
≤
u
v
,
v
,
div
v
Ω
die sich auch leicht auf höhere Ordnungen übertragen lässt [19]. Abbildung 6.32 zeigt
den Einsatz dieser Methoden zur Lösung des Entrausch-Problems.
6.6 Aufgaben
Es sei
P
π
)
−d
/2
2
)
−
1
λ
(
ξ
)=(
(
+
λ|ξ|
λ >
Aufgabe
6.1
.
2
1
mit
0.
1.
Zeigen Sie, dass die inverse Fouriertransformierte
P
λ
im Distributionensinn gegeben ist
durch
K
d
/2
−
1
2
.
1
−
d
/2
|
x
|
π
|
x
|
P
λ
(
x
)=
√
λ
λ
(
d
+
2
)
/4
(
π
)
d
−
1
2
Folgende Aussage aus [126] kann dabei hilfreich sein:
m
−
d
F
(
2
=
(
2
π
)
2
)
−
m
m
−
d
2
1
+
|·|
)
|·|
K
d
−
m
2
(
2
π
|·|
)
.
2
m
2
Γ(
2.
Leiten Sie für ungerade
d
mithilfe von
2
z
e
−z
n
k
=0
(
n
+
k
)
!
K
−ν
=
K
,
ν
∈
C
,
K
n
+1/2
(
z
)=
k
,
n
∈
N
ν
(
−
)
(
)
k
!
n
k
!
2
z
aus [139] eine Darstellung von
P
ohne K
d
/2
−
1
her.
λ
L
1
R
d
λ
∈
(
)
≥
3.
Zeigen Sie schließlich, dass
P
in jeder Dimension
d
1. Sie können dabei die
Abschätzungen
|
−ν
)
O
(
|
z
falls
Re
ν
>
0
|
K
ν
(
z
)
|
=
für
|
z
|→
0,
O
(
|
|
)
ν
=
log
z
falls
0,
e
−|z|
|
1/2
für
|
K
ν
(
)
|
=
O
|
|→
∞
z
z
z
|
aus [139] verwenden.
R
d
ein Gebiet und
Ω
⊂
Ω
Au
fgabe
6.2
.
Es sei Ω
⊂
ein beschränktes Lipschitz-Teilgebiet, so dass
Ω
⊂⊂
Ω
.
1.
Zeigen Sie die Identitäten
u
u
H
1
Ω
\
Ω
}
=
{
H
1
H
0
(
Ω
)
}
=
D
(
Ω
)
{
u
∈
(
Ω
)
=
0 auf
u
∈
(
Ω
)
|
Ω
∈
wobei der Abschluss bezüglich der
H
1
-Norm zu verstehen ist.
H
1
die entsprechenden Spuren der Funktionen
u
1
2.
Beweisen Sie, dass für alle
u
∈
(
Ω
)
=
|
Ω
\
Ω
und
u
2
|
Ω
in
L
2
H
(
∂
Ω
)
=
u
u
übereinstimmen.
d
−
1
