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∈
•
Für einen Unterraum
U
X
ist der Unterraum aller Vektoren
X
x
U
⊥
=
{
y
∈
⊥
y
für alle
x
∈
U
}
das
orthogonale Komplement
von
U
.
∈
Sind
x
,
y
X
orthogonal, so gilt für die Norm der
Satz des Pythagoras
2
X
2
X
2
x
+
y
=
x
+
y
X
.
Die analoge Aussage über das Normquadrat von Summen bleibt wahr für endliche
Orthogonalsysteme und abzählbare Orthogonalsysteme, deren Reihe in
X
konvergiert.
Das orthogonale Komplement
U
⊥
ist stets abgeschlossen und für abgeschlossene
Unterräume
U
im Hilbert-Raum gilt
X
U
⊥
. Daraus folgt die Existenz der
or-
=
⊥
U
thogonalen Projektion
auf
U
: Ist
X
,
·
)
X
, so gibt es für jeden abgeschlossenen Unter-
(
·
,
raum
U
⊂
X
ein eindeutiges
P
∈L
(
X
,
X
)
mit
U
⊥
.
P
2
=
(
)=
(
)=
P
,
rg
P
U
,
ker
P
P
der orthogonalen Projektion auf
U
⊥
entspricht.
Der Begriff der Orthogonalität ist ebenso die Grundlage für Orthonormalsysteme
und Orthonormalbasen.
=
I
−
Es ist sofort klar, dass
Q
Definition 2.34
(Orthonormalsystem)
Eine Teilmenge
U
eines Prä-Hilbert-Raumes
X
,
·
)
X
heißt
Orthonormalsystem
,
•
(
·
,
(
)
X
=
δ
x
,
y
für alle
x
,
y
∈
falls
x
,
y
U
.
•
Das Orthonormalsystem wird
vollständig
genannt, wenn es kein Orthonormalsys-
tem gibt, welches
U
als echte Teilmenge enthält.
•
Ein höchstens abzählbares vollständiges Orthonormalsystem wird auch als
Ortho-
normalbasis
bezeichnet.
⊂
Für Orthonormalsysteme
U
X
gilt die
Besselsche Ungleichung
:
y
∈
U
|
(
x
,
y
)
X
|
2
2
∈
≤
x
X
:
x
X
,
wobei
(
x
,
y
)
=
0 für höchstens abzählbare viele
y
∈
U
, die Summe also als konvergente
Reihe aufzufassen ist.
Im Falle der Vollständigkeit von
U
ergibt sich Gleichheit, sofern
X
ein Hilbert-Raum
ist. Dieser Zusammenhang wird
Parseval-Relation
oder
Vollständigkeitsrelation
genannt:
2
X
=
y
∈
U
|
(
x
,
y
)
X
|
2
.
∈
x
X
:
x
Letztere lässt sich auch als Spezialfall der
Parseval-Identität
auffassen:
)
X
=
y
∈
U
(
x
1
,
y
)
X
(
x
2
,
y
)
X
.
∈
(
x
1
,
x
2
X
:
x
1
,
x
2
