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Man kann zeigen, dass es in jedem Hilbert-Raum ein vollständiges Orthonormalsystem
gibt [145]. Darüber hinaus ist ein Hilbert-Raum X genau dann separabel, wenn es eine
Orthonormalbasis in X gibt. Aufgrund der Parseval-Identität ist damit jeder separable
Hilbert-Raum isometrisch isomorph entweder zu
2
oder zu K N für ein N
0. Insbe-
sondere folgt aus der Parseval-Relation, dass jede Folge von orthonormalen Vektoren
(
x n
schwach gegen Null konvergiert.
Betrachten wir noch die Dualräume von Hilbert-Räumen. Zunächst erhalten wir
aufgrund der Stetigkeit des Skalarprodukts für jedes y
)
X vermöge
X ein J X y
X ist semi-linear , also
J X y , x
X ×X =(
x , y
) X . Die Abbildung J X : X
( λ 1 x 1 + λ 2 x 2 )= λ 1 J X x 1 + λ 2 J X x 2
J X
für alle x 1 , x 2
X und
λ 1 ,
λ 2
K .
Das Bemerkenswerte an einem Hilbert-Raum ist nun, dass das Bild von J X bereits den
ganzen Dualraum darstellt.
Satz 2.35 (Rieszscher Darstellungssatz)
Es sei X ,
· ) X ein Hilbert-Raum. Zu jedem x
X gibt es ein y
( ·
,
X mit
y
X =
x X , so dass
x , x
X ×X =(
x , y
) X
für alle x
X .
Die Abbildung J 1
X
: X
X , welche dem obigen x
X das y
X zuordnet, wird
auch Riesz-Abbildung genannt. Sie ist semi-linear und normerhaltend, daher sind in die-
sem Sinne X und X isometrisch isomorph. Als Folgerung bekommt man unmittelbar
die Reflexivität eines Hilbert-Raumes.
Sind X , Y Hilbert-Räume, so lässt sich darüber hinaus vermöge der Riesz-Abbildung
für jedes F
ein F =
J 1
X
F J Y
∈L (
)
∈L (
)
konstruieren, die sogenannte Hilbert-
Raum-Adjungierte . Man sieht leicht ein, dass diese Abbildung äquivalent definiert ist
durch
X , Y
Y , X
x , F y
(
Fx , y
) Y =(
) X
für alle x
X , y
Y .
Gilt F =
F , so heißt F selbstadjungiert .
Die Identifikation des Hilbert-Raumes mit seinem Dualen werden wir häufig still-
schweigend verwenden und zum Beispiel einfach F =
F ∈L (
Y , X
)
schreiben, solan-
ge dies aus dem Kontext ersichtlich ist.
2.2 Elemente der Maß- und Integrationstheorie
Die für uns interessanten Aspekte der Maß- und Integrationstheorie sind überwie-
gend die funktionalanalytischen: In diesem Sinne besitzen einerseits die dem Lebesgue-
Integral zugeordneten Funktionenräume eine Reihe von „guten“ Eigenschaften. Ande-
rerseits enthalten sie auch die für die Bildverarbeitung interessanten Objekte: Klassische
Begriffe, wie zum Beispiel Stetigkeit von Funktionen, mögen für Bilder zu einschrän-
kend sein, da auch Sprünge auftreten können. Auch stellt man sich Rauschen in der Re-
gel als unstetige Störung vor. Die Lebesgue-Räume erlauben die Beschreibung solcher
Annahmen und stellen gleichzeitig eine geeignete analytische Struktur zur Verfügung.
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