Image Processing Reference
In-Depth Information
Man kann zeigen, dass es in jedem Hilbert-Raum ein vollständiges Orthonormalsystem
gibt [145]. Darüber hinaus ist ein Hilbert-Raum
X
genau dann separabel, wenn es eine
Orthonormalbasis in
X
gibt. Aufgrund der Parseval-Identität ist damit jeder separable
Hilbert-Raum isometrisch isomorph entweder zu
2
oder zu
K
N
für ein
N
0. Insbe-
sondere folgt aus der Parseval-Relation, dass jede Folge von orthonormalen Vektoren
(
≥
x
n
schwach gegen Null konvergiert.
Betrachten wir noch die Dualräume von Hilbert-Räumen. Zunächst erhalten wir
aufgrund der Stetigkeit des Skalarprodukts für jedes
y
)
X
∗
vermöge
∈
∈
X
ein
J
X
y
X
∗
ist
semi-linear
, also
J
X
y
,
x
X
∗
×X
=(
x
,
y
)
X
. Die Abbildung
J
X
:
X
→
(
λ
1
x
1
+
λ
2
x
2
)=
λ
1
J
X
x
1
+
λ
2
J
X
x
2
∈
∈
J
X
für alle
x
1
,
x
2
X
und
λ
1
,
λ
2
K
.
Das Bemerkenswerte an einem Hilbert-Raum ist nun, dass das Bild von
J
X
bereits den
ganzen Dualraum darstellt.
Satz 2.35
(Rieszscher Darstellungssatz)
Es sei
X
,
·
)
X
ein Hilbert-Raum. Zu jedem x
∗
∈
X
∗
gibt es ein y
(
·
,
∈
X mit
y
X
=
x
∗
X
∗
, so dass
x
∗
,
x
X
∗
×X
=(
x
,
y
)
X
für alle x
∈
X
.
Die Abbildung
J
−
1
X
:
X
∗
→
X
, welche dem obigen
x
∗
∈
X
∗
das
y
X
zuordnet, wird
auch
Riesz-Abbildung
genannt. Sie ist semi-linear und normerhaltend, daher sind in die-
sem Sinne
X
und
X
∗
isometrisch isomorph. Als Folgerung bekommt man unmittelbar
die Reflexivität eines Hilbert-Raumes.
Sind
X
,
Y
Hilbert-Räume, so lässt sich darüber hinaus vermöge der Riesz-Abbildung
für jedes
F
∈
ein
F
=
J
−
1
X
F
∗
J
Y
∈L
(
)
∈L
(
)
konstruieren, die sogenannte
Hilbert-
Raum-Adjungierte
. Man sieht leicht ein, dass diese Abbildung äquivalent definiert ist
durch
X
,
Y
Y
,
X
x
,
F
y
(
Fx
,
y
)
Y
=(
)
X
für alle
x
∈
X
,
y
∈
Y
.
Gilt
F
=
F
, so heißt
F selbstadjungiert
.
Die Identifikation des Hilbert-Raumes mit seinem Dualen werden wir häufig still-
schweigend verwenden und zum Beispiel einfach
F
∗
=
F
∈L
(
Y
,
X
)
schreiben, solan-
ge dies aus dem Kontext ersichtlich ist.
2.2 Elemente der Maß- und Integrationstheorie
Die für uns interessanten Aspekte der Maß- und Integrationstheorie sind überwie-
gend die funktionalanalytischen: In diesem Sinne besitzen einerseits die dem Lebesgue-
Integral zugeordneten Funktionenräume eine Reihe von „guten“ Eigenschaften. Ande-
rerseits enthalten sie auch die für die Bildverarbeitung interessanten Objekte: Klassische
Begriffe, wie zum Beispiel Stetigkeit von Funktionen, mögen für Bilder zu einschrän-
kend sein, da auch Sprünge auftreten können. Auch stellt man sich Rauschen in der Re-
gel als unstetige Störung vor. Die Lebesgue-Räume erlauben die Beschreibung solcher
Annahmen und stellen gleichzeitig eine geeignete analytische Struktur zur Verfügung.