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( λ 1 x 1 + λ 2 x 2 , y
) X = λ 1 (
) X + λ 2 (
)
1.
x 1 , y
x 2 , y
für x 1 , x 2 , y
X und
λ 1 ,
λ 2
K ,
(Linearität)
(
) X = (
) X für x , y
2.
x , y
y , x
X ,
(Hermitsche Symmetrie)
3.
(
x , x
) X
0 und
(
x , x
) X =
0
x
=
0.
(positive Definitheit)
X =
(
) X . Sie genügt
Ein Skalarprodukt auf X induziert eine Norm durch
x
x , x
der Cauchy-Schwarz-Ungleichung :
| (
x , y
) X |≤
x
X
y
X
für alle x , y
X .
Daraus folgert man auch leicht die Stetigkeit des Skalarproduktes.
Für einen K -Vektorraum mit Skalarprodukt und assoziiertem normierten Raum
(
· X )
X ,
ist der Begriff Prä-Hilbert-Raum geläufig. Diesen notieren wir auch mit
X ,
· ) X . Die Vollständigkeit spiegelt sich folgendermaßen wider:
( ·
,
Definition 2.31 (Hilbert-Raum)
Ein Hilbert-Raum ist ein vollständiger Prä-Hilbert-Raum X ,
· ) X . Abhängig von
( ·
,
K
=
R oder K
=
C wird er jeweils reeller oder komplexer Hilbert-Raum genannt.
Beispiel 2.32
Für N
1 ist die Menge K N ein endlichdimensionaler Hilbert-Raum, wenn das Skalar-
produkt zum Beispiel folgendermaßen gewählt wird:
N
i =1 x i y i .
(
x , y
) 2 =
·
Wir nennen dieses Skalarprodukt das Euklidische Skalarprodukt und schreiben auch x
y
=(
) 2 .
Analog ergibt die Menge
x , y
K i =1 |
2
2
= {
|
< }
x : N
x i
, versehen dem Skalar-
produkt
i = 1 x i y i ,
einen unendlichdimensionalen, separablen Hilbert-Raum. Die Wohldefiniertheit des
Skalarprodukts ist dabei eine Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
(
) 2 =
x , y
Charakteristisch für (Prä-)Hilbert-Räume ist der Begriff der Orthogonalität .
Definition 2.33 (Orthogonalität)
Es sei X ,
· ) X ein Prä-Hilbert-Raum.
( ·
,
(
) X =
Zwei Elemente x , y
X werden orthogonal genannt, falls
x , y
0 gilt. Wir
schreiben auch x
y . Eine Menge U
X , deren Elemente paarweise orthogonal
sind, wird Orthogonalsystem genannt.
Die Unterräume U , V
X sind orthogonal , bezeichnet mit U
V , falls dies für
jedes Paar
(
x , y
)
U
×
V erfüllt ist. Den Fall W
=
U
+
V für einen Unterraum
=
W
X notieren wir auch mit W
U
V .
 
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