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(
λ
1
x
1
+
λ
2
x
2
,
y
)
X
=
λ
1
(
)
X
+
λ
2
(
)
∈
∈
1.
x
1
,
y
x
2
,
y
für
x
1
,
x
2
,
y
X
und
λ
1
,
λ
2
K
,
(Linearität)
(
)
X
= (
)
X
für
x
,
y
∈
2.
x
,
y
y
,
x
X
,
(Hermitsche Symmetrie)
3.
(
x
,
x
)
X
≥
0 und
(
x
,
x
)
X
=
0
⇔
x
=
0.
(positive Definitheit)
X
=
(
)
X
. Sie genügt
Ein Skalarprodukt auf
X
induziert eine Norm durch
x
x
,
x
der
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
:
|
(
x
,
y
)
X
|≤
x
X
y
X
für alle
x
,
y
∈
X
.
Daraus folgert man auch leicht die Stetigkeit des Skalarproduktes.
Für einen
K
-Vektorraum mit Skalarprodukt und assoziiertem normierten Raum
(
·
X
)
X
,
ist der Begriff
Prä-Hilbert-Raum
geläufig. Diesen notieren wir auch mit
X
,
·
)
X
. Die Vollständigkeit spiegelt sich folgendermaßen wider:
(
·
,
Definition 2.31
(Hilbert-Raum)
Ein
Hilbert-Raum
ist ein vollständiger Prä-Hilbert-Raum
X
,
·
)
X
. Abhängig von
(
·
,
K
=
R
oder
K
=
C
wird er jeweils
reeller
oder
komplexer
Hilbert-Raum genannt.
Beispiel 2.32
Für
N
1 ist die Menge
K
N
ein endlichdimensionaler Hilbert-Raum, wenn das Skalar-
produkt zum Beispiel folgendermaßen gewählt wird:
≥
N
i
=1
x
i
y
i
.
(
x
,
y
)
2
=
·
Wir nennen dieses Skalarprodukt das
Euklidische Skalarprodukt
und schreiben auch
x
y
=(
)
2
.
Analog ergibt die Menge
x
,
y
K
∑
i
=1
|
2
2
=
{
→
|
<
∞
}
x
:
N
x
i
, versehen dem Skalar-
produkt
∞
i
=
1
x
i
y
i
,
einen unendlichdimensionalen, separablen Hilbert-Raum. Die Wohldefiniertheit des
Skalarprodukts ist dabei eine Folge der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
(
)
2
=
x
,
y
Charakteristisch für (Prä-)Hilbert-Räume ist der Begriff der
Orthogonalität
.
Definition 2.33
(Orthogonalität)
Es sei
X
,
·
)
X
ein Prä-Hilbert-Raum.
(
·
,
∈
(
)
X
=
•
Zwei Elemente
x
,
y
X
werden
orthogonal
genannt, falls
x
,
y
0 gilt. Wir
schreiben auch
x
⊥
y
. Eine Menge
U
⊂
X
, deren Elemente paarweise orthogonal
sind, wird
Orthogonalsystem
genannt.
⊂
⊥
•
Die Unterräume
U
,
V
X
sind
orthogonal
, bezeichnet mit
U
V
, falls dies für
jedes Paar
(
x
,
y
)
∈
U
×
V
erfüllt ist. Den Fall
W
=
U
+
V
für einen Unterraum
⊂
=
⊥
W
X
notieren wir auch mit
W
U
V
.