Image Processing Reference
In-Depth Information
[
]
→
Ω
und für eine Interpolation
u
:
die Abweichung von der Optischen-Fluss-
Bedingung zu messen. In diesem Fall wird auch nach
u
optimiert; dieser Ansatz wird
in [83] verfolgt:
0, 1
u
1
∂
u
2
∂
v
d
x
d
t
u
0
(
)=
0
1
2
u
∂
v
∂
t
+
·∇
+
λϕ
∇
min
u
,
v
v
t
,
mit
u
1
.
(
)=
u
1
0
Ω
Für die
Registrierung
eines Bildes
u
0
R
mit einem anderen
u
1
R
werden ähnliche Funktionale minimiert. Hauptunterschied ist, dass das Vektorfeld
v
:
Ω
→
:
Ω
→
:
Ω
→
R
d
ein Deformationsvektorfeld darstellt, also nicht von der Zeit abhängt und der
Optischen-Fluss-Bedingung genügt, sondern als stationäre Koordinatentransformation
aufgefasst wird. Das Vorwärtsmodell entspricht dann der Gleichung
u
0
u
1
.
Variationsmethoden stellen dafür wieder ein Minimierungsproblem auf, welches einer-
seits Übereinstimmung mit den Daten
u
0
◦
(
id
+
v
)=
u
1
, andererseits Glattheit von
v
misst. Für Details sei auf den Übersichtsartikel [62] und das Buch [101] verwiesen.
Geben wir schließlich noch einen kleinen Ausblick über weiterführende
Regularisie-
rungsterme
für Bilder. Wie in den Unterabschnitten 6.3.1 und 6.3.3 entwickelt, eignen
sich Räume schwach differenzierbarer Funktionen zur Regularisierung von variationel-
len Bildverarbeitungsproblemen. Die Totalvariation ist aufgrund der Eigenschaft, Kan-
ten zu erhalten als Strafterm besonders attraktiv: sie findet Anwendung in nahezu allen
Bildverarbeitungsproblemen. Unglücklicherweise tauchen in Verbindung mit TV einige
Probleme auf. Der deutlichste Nachteil scheint das Erscheinen des „Staircasing-Effekts“,
also das Auftauchen von Kanten in Lösungen der assoziierten Minimierungsaufgaben
wo intuitiv keine hingehören (siehe zum Beispiel Abbildungen 6.19 und 6.21). Dies sind
zwei Seiten derselben Medaille: Einerseits ist das Auftauchen von Kanten an Sprung-
stellen erwünscht, andererseits erscheinen sie auch an Stellen, wo das Original glatt
wäre. Die TV-Halbnorm kann nicht unterscheiden, wann was der Fall ist.
Eine Möglichkeit, das Auftauchen des Stufeneffekts zu vermeiden, ist, Terme hö-
herer Ordnung einzubeziehen. Dabei möchte man allerdings nicht darauf verzichten,
Sprungstellen im Bild rekonstruieren zu können. Leider sind dies konkurrierende For-
derungen: Hat eine Funktion in BV
◦
(
id
+
v
)
−
(Ω)
∇
u
be-
züglich des Lebesgue-Maßes singulär und allerhöchstens im Distributionensinne noch
differenzierbar. Gilt andererseits, dass
eine Sprungstelle, so ist die Ableitung
2
u
zum Beispiel ein Radon-Maß oder eine
L
p
-
Funktion darstellt, so kann man zeigen, dass
∇
u
eine
L
p
-Funktion ist,
u
kann folglich
keine Kanten aufweisen. Es gibt viele verschiedene Ansätze, der Forderung nach Kan-
tenerhaltung nachzukommen, die sowohl in konvexen als auch nicht-konvexen Funk-
tionalen resultieren [33, 124, 36, 96, 38, 73, 128, 19]. Wir konzentrieren uns auf die kon-
vexen, da es für sie, wie wir gesehen haben, eine gut ausgebaute Theorie gibt.
Eine naheliegende Verallgemeinerung von TV ist die
Totalvariation zweiter Ordnung
[124]:
∇
sup
u
div
2
v
d
x
1
.
,
R
d
×
d
TV
2
(
)=
∈D
(Ω
)
∞
≤
u
v
,
v
Ω
