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(
·
)
jedem Einzelbild
u
widerspiegelt. Man modelliert das zugehörige Variationspro-
blem durch folgende Überlegungen. Wir stellen uns vor, wir können die Bewegung je-
des Punktes
x
t
,
∈
Ω
[
]
→
Ω
über die Zeit verfolgen, es also eine Trajektorie
ϕ
x
:
0, 1
mit
x
gibt. Es wird nun die Annahme getroffen, dass sich der Helligkeitswert in der
Bildfolge
u
0
ϕ
x
(
0
)=
nicht ändert. Setzt man also die Trajektorie ein, muss
u
t
,
)
=
(
(
)
ϕ
x
t
u
0,
x
gelten. Es folgt durch Differentiation nach
t
t
t
,
)
+
∇
u
t
,
)
· ϕ
x
(
∂
u
∂
(
(
)=
ϕ
x
t
ϕ
x
t
t
0.
entspricht aber genau der gesuchten Geschwindigkeit
v
t
,
)
.
ϕ
x
(
Die Ableitung
t
)
ϕ
x
(
t
[
]
×
Ω
Wird nun gefordert, dass die obige Gleichung überall in
gilt, ergibt dies die
sogenannte
Optische-Fluss-Bedingung
(englisch: „optical flow constraint“)
0, 1
∂
u
∂
t
+
∇
·
=
u
v
0.
(6.99)
Andererseits sollte das Geschwindigkeitsfeld
v
im Ort eine gewisse Glattheit aufweisen,
wir erwarten, dass sich Objekte im wesentlichen starr bewegen, und sich höchstens we-
nig verformen, zum Beispiel durch die Änderung der Perspektive. Die Idee in [77] ist,
die Glattheitsforderung mit einem
H
1
-Strafterm zu realisieren. Aufgrund von potenti-
ellen Helligkeitsschwankungen wird weiterhin auf die exakte Erfüllung der Optischen-
Fluss-Bedingung verzichtet. Die Minimierungsaufgabe zur Bestimmung des optischen
Flusses zum Zeitpunkt
t
lautet damit
∂
v
2
d
x
1
2
u
∂
+
2
2
d
x
.
F
(
v
)=
t
(
t
)+
∇
u
(
t
)
·
Ω
|∇
v
|
Ω
Zu diesem Ansatz existieren zahlreiche Varianten. Es ist einerseits möglich, für die Opti-
mierung das gesamte Zeitintervall einzubeziehen, die Minimierungsaufgabe beinhaltet
in diesem Fall auch das Integral über das Zeitintervall
. Andererseits lassen sich
eine Vielzahl anderer Daten- und Regularisierungsterme betrachten [24].
In der Praxis hat man nur diskrete Bilder gegeben. In der Literatur gibt es zahlreiche
Ansätze, den optischen Fluss zu bestimmen, wenn nur
u
0
[
0, 1
]
und
u
1
=
(
)
=
(
)
u
0
u
1
be-
kannt sind. Hier geht man davon aus, dass
u
wieder der Optischen-Fluss-Bedingung
genügt. Kennt man
v
, so lässt sich durch Setzen der Anfangsbedingung
u
(
t
)
u
0
die
Transportgleichung (6.99) lösen (zum Beispiel mit der Methode der Charakteristiken,
siehe Kapitel 5) und so
u
(
)=
0
u
1
ein Maß, inwiefern die unbekannte Größe
v
mit den Daten übereinstimmt. Ausgehend
davon stellt man beispielsweise das Optimierungsproblem
u
1
bestimmen. Ansonsten gibt die Abweichung
u
(
)=
(
)
−
1
1
⎧
⎨
∂
u
∂
1
∂
v
d
x
d
t
t
+
∇
u
·
v
=
0
1
2
v
∂
u
0
2
d
x
Ω
|
(
)
−
|
+
λ
∇
min
v
u
1
Ω
ϕ
t
,
mit
⎩
0
u
0
(
0
)=
u
auf [17]. Der Strafterm für
v
enthält neben einer Ortsregularisierung nun auch ein Maß
für die Ableitung
∂
v
∂
(
)
(
)
t
. Es ist auch möglich, die Randwerte
u
0
und
u
1
festzuhalten
