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Beispiel 6.145
(Primales-duales Verfahren für variationelles Inpainting)
Bezeichne mit
Ω
h
Ω
h
eine Inpainting-Region,
U
0
Ω
h
=
{
1, . . . ,
N
}×{
1,...,
M
}
,
:
\
Ω
h
→
≤
<
∞
Ω
h
R
ein auszumalendes Bild und betrachte für 1
p
die diskrete
R
N×M
:
Inpainting-Aufgabe in
X
=
p
p
X
∇
h
u
+
}
(
)
min
u
I
u
.
{
|
Ω
h
\
Ω
h
=
U
0
v
p
∈
Wir wollen dafür das primale-duale Verfahren anwenden. Zunächst sei bemerkt, dass
ein Minimierer existiert. Das lässt sich, wie schon in den Beispielen zuvor, in Analogie
zu den Existenzaussagen in Anwendungsbeispiel 6.98 und Beispiel 6.128 zeigen. Zum
Dualisieren wählen wir
Y
R
N×M×
2
=
und
)=
p
p
p
,
A
u
∈
X
:
F
1
(
u
)=
I
}
(
u
)
,
v
∈
Y
:
F
2
(
v
v
=
∇
h
.
{v|
Ω
h
\
Ω
h
=
U
0
In Analogie zum Kontinuierlichen lassen sich auch die Summen- beziehungsweise Ket-
tenregel für den Subgradienten anwenden:
F
2
ist überall stetig, und
F
1
sowie
F
2
◦∇
h
erfüllen die Voraussetzungen von Übungsaufgabe 6.14. Es folgt
+
∇
h
◦ ∂
=
+
◦∇
h
⇒
=
∂
◦∇
h
F
F
1
F
2
∂
F
F
1
F
2
und nach Bemerkung 6.72 existiert ein Sattelpunkt des zugehörigen Lagrange-Funktio-
nals.
Für die Anwendung des primalen-dualen Algorithmus' brauchen wir
)
−
1
,
(
id
+
σ∂
F
1
X
v
U
0
dies entspricht jedoch der Projektion auf
K
=
{
v
∈
|
Ω
h
\
Ω
h
=
}
(siehe Bei-
spiel 6.137), also, setzt man
U
0
beliebig auf
Ω
h
fort,
)
−
1
)=
χ
Ω
h
\
Ω
h
U
0
(
id
+
σ∂
F
1
(
u
+
χ
Ω
h
u
.
Das daraus resultierende Verfahren (6.89) kann man in Tabelle 6.3 sehen.
Beispiel 6.146
(Verfahren für lineare Gleichheitsbedingungen/Interpolation)
Als letztes Beispiel diskutieren wir allgemeine Gleichheitsbedingungen für die Mini-
mierung der Sobolew-Halbnorm beziehungsweise der Totalvariation. Es sei 1
≤
p
<
∞
,
R
N
1
×
M
1
und
Y
R
N
2
×
M
2
. Für
U
0
:
R
N
1
×
M
1
X
=
=
∈
Y
soll die lineare Abbildung
A
h
→
R
N
2
×M
2
die Gleichheitsbedingungen
A
h
u
U
0
realisieren. Wir fordern, dass
A
h
surjek-
=
tiv ist und
A
h
1
0 gelte, vergleiche auch Anwendungsbeispiel 6.100 und Beispiel 6.128.
Unser Interesse liegt in der numerischen Lösung der Minimierungsaufgabe
=
p
p
∈X
∇
h
u
min
u
+
I
}
(
u
)
.
U
0
{
A
h
v
=
p
Die Verbindung zur Interpolationsaufgabe im Hinterkopf fassen wir die Gleichheitsbe-
schränkungen im Folgenden äquivalent als
v
i
,
j
,
u
U
i
,
j
(
)
i
,
j
=(
)=
A
h
u
mit den Bildern
der normierten Einheitsvektoren
v
i
,
j
1
h
A
h
e
i
,
j
=
≤
≤
≤
≤
und 1
i
N
2
,1
j
M
2
auf.
