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Primaler-Dualer Algorithmus für variationelles Inpainting
p
p
R
N×M
∇
h
u
min
+
I
}
(
u
)
.
{v|
Ω
h
\
Ω
h
=
U
0
p
∈
u
1.
Initialisierung
Setze
n
0,
u
0
u
0
U
0
,
w
0
8
=
=
=
=
τ >
στ ≤
0. Wähle
σ
,
0 mit
h
2
.
2.
Dualer Schritt
w
n
+1
w
n
+
τ∇
h
u
n
,
=
⎧
⎨
w
n
+1
i
,
j
id
1
−
1
|
p
∗
−
w
n
+
1
i
,
j
+
τ
|·|
|
falls
p
>
1
w
n
+1
i
,
j
|
|
1
≤
i
≤
N
,
w
n
+1
i
,
j
=
w
n
+1
i
,
j
⎩
≤
≤
1
j
M
.
falls
p
=
1,
w
n
+
1
i
,
j
(
|
|
)
max
1,
3.
Primaler Schritt und Extragradient
u
n
+
1
div
h
w
n
+
1
=
χ
Ω
h
\
Ω
h
U
0
u
n
+
χ
Ω
h
(
+
σ
)
,
u
n
+
1
2
u
n
+
1
u
n
.
=
−
4.
Iteration
Setze
n
1 und fahre mit Schritt 2 fort.
Tabelle 6.3.
Primaler-dualer Algorithmus zum numerischen Lösen des variationellen Inpainting-Problems.
←
n
+
Man überzeugt sich nun analog zu Beispiel 6.145, dass obige Aufgabe eine Lösung
besitzt. Mit
Z
R
N×M×
2
=
schreiben wir
)=
p
p
p
,
A
u
∈
X
:
F
1
(
u
)=
I
}
(
u
)
,
v
∈
Y
:
F
2
(
v
v
=
∇
h
,
{A
h
v
=
U
0
so dass für die Summe
F
=
F
1
+
F
2
◦
A
die Fenchel-Rockafellar-Dualität gilt (verglei-
)
−
1
(
+
σ∂
(
)
che auch Beispiel 6.145). Die Projektion
id
F
1
u
kann durch Lösen des linearen
Gleichungssystems
A
h
λ
realisiert werden, siehe Beispiel 6.137. Tabelle 6.4 fasst den entstehenden numerischen
Algorithmus zusammen.
Untersuchen wir noch die konkrete Realisierung der Interpolationsaufgabe aus An-
wendungsbeispiel 6.100, also die
k
-fache Vergrößerung des Bildes
U
0
A
h
A
h
)
λ
=
U
0
)
−
1
λ ∈
(
−
⇒
(
+
σ∂
(
)=
+
Y
:
A
h
u
id
F
1
u
u
R
N
×
M
. Hier
ergibt es Sinn, nur positive natürliche
k
zuzulassen. Die Abbildung
A
h
modelliert da-
mit eine
k
-fache Verkleinerung von
N
1
×
∈
M
1
nach
N
2
×
M
2
mit
N
1
=
kN
,
M
1
=
kM
,
=
=
×
N
2
N
und
M
2
M
. Wählt man zum Beispiel die Mittelung über
k
k
-Quadrate, so
sind die
v
i
,
j
gegeben durch
1
hk
χ
[(
i−
1)
k
+1,
ik
]
×
[(
j−
1)
k
+1,
jk
]
v
i
,
j
=
≤
≤
≤
≤
,
1
i
N
,
1
j
M
.
