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Primaler-Dualer Algorithmus zur Minimierung des Tichonow-Funktionals
q
q
p
p
U
0
∈
R
N
1
×M
1
−
+
λ∇
h
u
A
h
u
min
.
q
p
u
1.
Initialisierung
Setze
n
0,
u
0
u
0
0,
v
0
0 und
w
0
=
=
=
=
=
0.
2
8
h
2
)
−
1
.
τ >
στ ≤
(
+
Wähle
σ
,
0 mit
A
h
2.
Dualer Schritt
v
n
+1
v
n
A
h
u
n
U
0
=
+
τ
(
−
)
sgn
q
∗
−
v
n
+1
i
,
j
)
−
1
v
n
+1
i
,
j
1
(
)(
id
+
τ
|·|
(
|
|
)
falls
q
>
1
≤
≤
1
i
N
2
,
v
n
+1
i
,
j
=
min
1, max
1,
v
n
+1
i
,
j
(
−
)
falls
q
=
1,
1
≤
j
≤
M
2
,
w
n
+1
w
n
+
τ
∇
h
u
n
,
=
⎧
⎨
w
n
+
1
i
,
j
id
p
p
p
∗
−
1
−
1
|
+
τλ
−
w
n
+1
i
,
j
|·|
|
falls
p
>
1
w
n
+1
i
,
j
|
|
≤
≤
1
i
N
1
,
w
n
+
1
i
,
j
=
w
n
+1
i
,
j
⎩
1
≤
j
≤
M
1
.
=
falls
p
1,
w
n
+1
i
,
j
max
(
1,
|
|
/
λ
)
3.
Primaler Schritt und Extragradient
u
n
+1
u
n
div
h
w
n
+1
A
h
v
n
+1
=
+
σ
(
−
)
,
u
n
+1
2
u
n
+1
u
n
.
=
−
4.
Iteration
Setze
n
←
+
1 und fahre mit Schritt 2 fort.
Tabelle 6.2.
Primaler-dualer Algorithmus zur Minimierung des Tichonow-Funktionals mit Sobolew- oder
Totalvariations-Strafterm.
n
die man nun als Abbruchkriterium einsetzen kann. Es ist möglich, jedoch sehr mühsam,
eine a-priori-Abschätzung
u
n
≤
C
für das Problem herzuleiten, zum Beispiel unter
Ausnutzung der Koerzivität von
F
2
und
F
2
und der im Beweis von Satz 6.141 angeführ-
ten Abschätzung an die Iterierten. Wir verzichten darauf und erwähnen, dass es keine
dramatischen Konsequenzen hat, wenn man in der Praxis für
C
>
0 eine heuristische
Schätzung wählt: Wird die Konstante unterschätzt, so konvergiert
˜
u
n
,
v
n
,
w
n
immer
noch gegen Null, die Werte können allerdings negativ werden und die Abschätzun-
gen (6.96) verloren gehen.
G
(
)
