Image Processing Reference
In-Depth Information
∇
h
vorkommt, dualisieren wir mit
Da in dem Minimierungsproblem sowohl
A
h
und
R
N×M×
2
Z
=
allerdings wie folgt
A
h
∇
h
.
1
q
+
p
q
q
p
p
,
A
U
0
u
∈
X
:
F
1
(
u
)=
0,
(
v
,
w
)
∈
Y
×
Z
:
F
2
(
v
,
w
)=
v
−
w
=
Auch hier sind die Voraussetzungen für Satz 6.68 erfüllt, es genügt also, Sattelpunkte
des zugehörigen Lagrange-Funktionals zu finden. Dafür dualisieren wir
F
2
, das, wie
wir in Beispiel 6.143 schon gesehen haben, zu
q
∗
λ
−
p
∗
/
p
p
∗
q
∗
q
∗
+(
p
∗
p
∗
U
0
,
v
v
)
falls
q
>
1
w
falls
p
>
1
F
2
(
v
,
w
)=
1
+
U
0
,
v
I
}
(
v
)+(
)
falls
q
=
I
∞
≤λ}
(
w
)
falls
p
=
1
{
∞
≤
v
1
{
w
F
2
führt. Nach Lemma 6.136 Punkt 5 ist die Resolvente von
als komponenten-
weise Anwendung der Resolventen bezüglich
v
und
w
gegeben. Beide wurden wieder
schon in Beispiel 6.143 beschrieben, die Variable
v
muss lediglich um
∂
zu
σ
−
σU
0
verschoben
)
−
1
(
+
τ∂
=
werden. Die Resolvente zu
∂
F
1
ist trivial:
id
F
1
id.
2
Bemerken wir noch kurz, wie man
στ
wählen kann. Eine Abschätzung für
A
folgt mit
≤
<
h
2
2
2
2
2
2
2
2
8
2
,
=
+
∇
h
u
+
∇
h
)
+
Au
A
h
u
A
h
u
A
h
u
8
h
2
)
−
1
2
2
also gibt
1.
Die Beschreibung der zusammengesetzten Prozedur kann man Tabelle 6.2 entneh-
men. Die Dualitätslücke lautet, exemplarisch für
p
στ
≤
(
A
h
+
die Ungleichung
στ
A
<
>
1 und
q
>
1, folgendermaßen (es
ist
F
1
=
I
):
{
}
0
1
q
+
p
∇
h
u
n
q
q
p
p
u
n
,
v
n
,
w
n
div
h
w
n
A
h
v
n
A
h
u
n
U
0
G
(
)=
I
}
(
−
)+
−
{
0
)+
λ
−
−
p
∗
1
q
∗
p
p
∗
q
∗
p
∗
p
∗
v
n
U
0
,
v
n
w
n
+
q
∗
+(
,
durch die Präsenz des Indikatorfunktionals wird sie im Allgemeinen
∞
annehmen,
da wir div
h
w
n
A
h
v
h
nicht garantieren können. Ist uns allerdings bekannt, in wel-
chem Norm-Ball die Iterierten
=
u
n
(
)
liegen, das heißt, wir haben eine a-priori Schät-
u
n
zung
≤
C
für alle
n
, so kann man folgenden Trick anwenden: Ändert man
F
1
)
−
1
in
F
1
}
(siehe Beispiel 6.137), insbesondere ändert sich das Verfahren nicht. Die Fenchel-Duale
geht jedoch zu
F
1
=
=
I
, so wird die Resolvente
(
id
+
τ∂
F
1
zur Projektion auf
{
u
≤
C
{
≤
}
u
C
über (siehe Beispiel 6.64). Folglich entspricht die Dualitäts-
lücke in den Iterierten der Auswertung der stetigen Funktion
C
·
1
q
+
p
∇
h
u
n
q
q
p
p
˜
u
n
,
v
n
,
w
n
div
h
w
n
A
h
v
n
A
h
u
n
U
0
G
(
)=
C
−
+
−
)+
λ
−
−
p
∗
1
q
∗
p
p
∗
q
∗
q
∗
+(
p
∗
p
∗
v
n
U
0
,
v
n
w
n
+
,
