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Primaler-Dualer Algorithmus zur Lösung der Entrauschaufgabe
q
q
p
p
U
0
R
N×M
−
+
λ∇
h
u
u
min
.
q
p
∈
u
1.
Initialisierung
Setze
n
0,
u
0
u
0
U
0
,
w
0
8
=
=
=
=
τ >
στ ≤
0. Wähle
σ
,
0 mit
h
2
.
2.
Dualer Schritt
w
n
+1
w
n
+
τ∇
h
u
n
,
=
⎧
⎨
w
n
+1
i
,
j
id
p
p
1
−
1
|
+
τλ
−
p
∗
−
w
n
+
1
i
,
j
|·|
|
falls
p
>
1
w
n
+1
i
,
j
|
|
1
≤
i
≤
N
,
w
n
+1
i
,
j
=
w
n
+1
i
,
j
⎩
≤
≤
1
j
M
.
falls
p
=
1,
w
n
+
1
i
,
j
(
|
|
λ
)
max
1,
/
3.
Primaler Schritt und Extragradient
v
n
+
1
div
h
w
n
+
1
u
n
U
0
,
=
+
σ
−
1
≤
i
≤
N
,
u
n
+1
i
,
j
U
i
,
j
+
v
n
+1
i
,
j
q
−
1
)
−
1
v
n
+1
i
,
j
=
(
)(
+
σ|·|
(
|
|
)
sgn
id
,
≤
≤
1
j
M
.
u
n
+1
2
u
n
+1
u
n
.
=
−
4.
Iteration
Setze
n
1 und fahre mit Schritt 2 fort.
Tabelle 6.1.
Primaler-dualer Algorithmus zum numerischen Lösen des diskreten variationellen Entrauschpro-
blems.
←
n
+
Vektoren nicht auf Null abbildet und
U
0
∈
Z
verrauschte Messdaten. Die Aufgabe ist
die Minimierung des Tichonow-Funktionals
q
q
p
p
U
0
X
A
h
u
−
+
λ
∇
h
u
min
u
.
q
p
∈
Bemerkt man, dass der Kern von
∇
h
aus den konstanten Vektoren besteht (siehe Lem-
ma 6.142), so wird analog zu der Argumentation in Satz 6.86 beziehungsweise Satz 6.115
und Beispiel 6.143 die Existenz eines Minimierers klar. Anwendungsbeispiel 6.97 und
Beispiel 6.127 motivieren zum Beispiel die Wahl
A
h
als diskreten Faltungsoperator nach
Unterabschnitt 3.3.3, also
A
h
u
k
h
mit einem diskretisierten Faltungskern
k
h
, des-
sen Komponenten nichtnegativ sind und aufsummiert Eins ergeben. Die Norm genügt
in diesem Fall der Abschätzung
=
u
∗
1 und die Adjungierte
A
h
≤
A
h
entspricht der Fal-
tung mit
k
h
=
−
id
k
. Für das Folgende ist die konkrete Wahl der Operators aber nicht
entscheidend, wir diskutieren daher die allgemeine Situation.
D
