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Wir schätzen nun ab:
h
2
u
i
+1,
j
−
2
h
2
u
i
,
j
+1
−
2
−
−
N
1
i
=1
M
j
=1
u
i
,
j
N
i
=1
M
1
j
=1
u
i
,
j
2
∇
h
u
=
+
h
h
j
=1
u
i
+1,
j
+
u
i
,
j
−
2
u
i
+1,
j
u
i
,
j
+
N
j
=1
u
i
,
j
+1
+
u
i
,
j
−
2
u
i
,
j
+1
u
i
,
j
N
−
1
i
=1
M
M
−
1
i
=1
=
4
j
=1
u
i
,
j
−
2
N−
1
j
=1
u
i
+1,
j
u
i
,
j
−
2
N
j
=1
u
i
,
j
+1
u
i
,
j
N
i
=1
M
M
M
−
1
i
=1
i
=1
≤
4
h
2
+
2
h
2
+
2
h
2
=
8
h
2
.
<
u
∗
=
{
=
}
Da die Menge
u
1
kompakt ist, gilt für ein
1 die Gleichheit mit d
er
=
∇
h
u
∗
8
2
2
Operatornorm, das heißt
h
2
.
Die Sobolew-Halbnorm von
u
kann diskret durch
∇
h
<
∇
h
u
p
ausgedrückt werden,
1
. Damit lassen
sich die Anwendungsbeispiele mit Sobolew-Strafterm aus Unterabschnitt 6.3.2 und de-
ren Pendants mit der Totalvariation aus Unterabschnitt 6.3.3 diskretisieren. Falls die
Fenchel-Rockafellar-Dualität (6.86) gilt, liefert das Verfahren (6.89) einen Sattelpunkt
des Lagrange-Funktionals und die primale Komponente folglich eine Lösung des Aus-
gangsproblems. Mit ein wenig Intuition und dem Wissen über die Realisierbarkeit der
Resolventenabbildungen ist es nun möglich, praktikable Algorithmen für eine Vielzahl
von konvexen Minimierungsproblemen in der Bildverarbeitung zu bekommen. Um
einen Eindruck davon zu bekommen, wie das konkret aussehen kann, diskutieren wir
noch einmal die in den Unterabschnitten 6.3.2 und 6.3.3 vorgestellten Anwendungspro-
bleme im Detail durch.
=
(
)=
∇
h
u
die Totalvariation entspricht dem Fall
p
1, also TV
h
u
Beispiel 6.143
(Primales-duales Verfahren für variationelles Entrauschen)
Mit 1
R
N×M
, dem diskreten verrauschten Bild
U
0
R
N×M
≤
<
∞
<
<
∞
=
∈
p
,1
q
,
X
und
λ
>
0 lautet das diskrete Entrauschproblem:
q
q
p
p
U
0
X
−
+
λ∇
h
u
u
min
u
.
q
p
∈
Das Zielfunktional ist offensichtlich stetig in
X
, darüber hinaus auch koerziv, denn in
endlichdimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent. Nach der direkten Metho-
de (Satz 6.17) folgt auch für diesen Spezialfall die Existenz eines Minimierers. Führen
wir
Y
R
N
×
M
×
2
=
ein und bezeichnen
1
q
)=
p
q
q
,
p
p
,
A
U
0
u
∈
X
:
F
1
(
u
)=
u
−
v
∈
Y
:
F
2
(
v
v
=
∇
h
,
so sind die Voraussetzungen für die Fenchel-Rockafellar-Dualität aus Satz 6.68 erfüllt
und das assoziierte Lagrange-Funktional besitzt einen Sattelpunkt. Für die Anwendung
