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F
2
. Dazu bemerke, dass mit Hilfe
von (6.89) brauchen wir die Resolventen von
∂
F
1
und
∂
von Lemma 6.65 und Beispiel 6.64 für
F
2
folgt:
p
∗
·
p
∗
=
λ
−
p
∗
/
p
p
∗
p
∗
p
∗
◦
λ
−
1
id
·
falls
p
>
1
p
p
F
2
=
p
∗
F
2
=
p
·
⇒
{v
∞
≤
1
}
◦
λ
−
1
id
λ
I
=
I
falls
p
=
1.
{v
∞
≤λ}
)
−
1
Es seien
σ
,
τ
>
0. Für die Resolvente
(
id
+
σ∂
F
1
gilt nach Lemma 6.136 und Bei-
spiel 6.138
i
,
j
=
)
−
1
.
)
−
1
U
i
,
j
+
U
i
,
j
)(
q
−
1
U
i
,
j
|
(
id
+
σ∂
F
1
(
u
)
sgn
(
u
i
,
j
−
id
+
σ
|·|
|
u
i
,
j
−
Mit denselben Hilfsmitteln ergibt sich
⎧
⎨
id
p
p
p
∗
−
1
−
1
w
i
,
j
+
τλ
−
|·|
|
w
i
,
j
|
falls
p
>
1
(
)
i
,
j
=
|
w
i
,
j
|
F
2
)
−
1
+
τ∂
(
id
w
w
i
,
j
w
i
,
j
⎩
min
(
λ
,
|
w
i
,
j
|
)
|
=
falls
p
=
1.
|
(
|
|
λ
)
w
i
,
j
max
1,
w
i
,
j
/
∇
h
=
−
8
h
2
Schließlich stellen wir fest, dass
div
h
gilt und für
στ
≤
die Schrittweitenbe-
2
schränkung
1 erfüllt ist, siehe Lemma 6.142. Wir können die resultierende
numerische Methode zum Entrauschen komplett beschreiben, sie ist in Tabelle 6.1 dar-
gestellt. Dieses Verfahren liefert nach Satz 6.141 eine konvergente Folge
στ
∇
h
<
u
n
,
w
n
.
Diskutieren wir für ein Abbruchkriterium noch kurz die Dualitätslücke (6.95). Es gilt
nach Lemma 6.65 und Beispiel 6.64:
((
))
q
∗
q
∗
+(
q
q
F
1
=
1
q
1
U
0
,
=
·
◦
⇒
q
∗
·
·
)
F
1
T
.
−
U
0
>
Im Fall
p
1 folgt
p
∗
p
p
∗
q
∗
q
∗
−
q
q
div
h
w
n
+
u
n
U
0
)=
−
)+
p
∇
h
u
n
+
λ
p
∗
p
∗
p
p
u
n
,
w
n
U
0
, div
h
w
n
w
n
G
(
+(
q
∗
q
u
n
,
w
n
welches ein stetiges Funktional darstellt, insbesondere folgt
G
(
)
→
0 für
n
→
∞
.
1 erfüllt jedes
w
n
die Bedingung
w
n
=
∞
≤ λ
Im Fall
p
, also ist
q
∗
q
∗
q
q
div
h
w
n
u
n
U
0
+
)=
−
u
n
,
w
n
U
0
, div
h
w
n
u
n
G
(
+(
)+
λ
TV
h
(
)
q
∗
q
u
n
,
w
n
G
(
)
→
und die Konvergenz
0 gilt ebenfalls. Bricht man folglich die Iteration bei
u
n
,
w
n
G
(
ab, und dies muss irgendwann passieren, so nähert der primale Funktio-
nalwert von
u
n
das Optimum bis auf Toleranz
)
<
ε
ε
an.
Beispiel 6.144
(Primales-duales Verfahren für Tichonow-Funktionale/Entfalten)
Wir betrachten nun die Situation mit einem diskretisierten linearen Operator
A
h
. Dazu
sei wieder 1
≤
p
<
∞
,1
≤
q
<
∞
(diesmal lassen wir auch
q
=
1 zu) und
X
=
R
N
1
×M
1
, ferner sei
A
h
R
N
2
×M
2
ein Vorwärtsoperator, der konstante
∈L
(
)
=
X
,
Y
mit
Y
