Image Processing Reference
In-Depth Information
∇
h
)
Lemma 6.142
(Kern, Adjungierte und Normabschätzung für
∇
h
:
R
N×M
R
N×M×
2
besitzt folgende Eigenschaften:
Die lineare Abbildung
→
R
N×M
,
(
∇
h
)=
(
)
∈
1.
Der Kern genügt
ker
span
1
mit dem konstanten Vektor
1
∇
h
=
−
2.
für die Adjungierte gilt
div
h
,
8
2
3.
die Norm genügt
∇
h
<
h
2
.
R
N×M
mit
∈
∇
h
u
=
Beweis.
Zu 1.: Es sei
u
0. Mit vollständiger Induktion gilt dann für
1
≤
i
≤
N
−
1 und 1
≤
j
≤
M
nach Definition von
∇
h
:
u
i
,
j
=
u
i
+
1,
j
=
...
=
u
N
,
j
. Also
ist
u
konstant entlang der ersten Komponente. Für 1
≤
j
≤
M
−
1 gibt vollständige In-
=
=
=
duktion genauso
u
N
,
j
u
N
,
j
+
1
...
u
N
,
M
, zusammen muss
u
ein skalares Vielfaches
des konstanten Vektors
1
sein.
Zu 2.: Für
u
∂
1
v
1
∂
2
v
2
R
N×M
und
v
R
N×M×
2
∈
∈
seien
und
der erste beziehungs-
weise zweite Summand in (6.98). Wir bilden das Skalarprodukt
(
∇
h
u
,
v
)
und rechnen
h
j
=1
(
u
i
+1,
j
− u
i
,
j
)
v
i
,
j
,1
+
h
N
j
=1
(
u
i
,
j
+1
− u
i
,
j
)
v
i
,
j
,2
N
−
1
i
=1
M
M
−
1
i
=1
(
∇
h
u
,
v
)=
j
=
1
N
i
=
2
u
i
,
j
v
i−
1,
j
,1
−
N−
1
i
=
1
u
i
,
j
v
i
,
j
,1
M
=
h
1
=
1
M
j
=
2
u
i
,
j
v
i
,
j−
1,2
−
M−
1
j
=
1
u
i
,
j
v
i
,
j
,2
N
+
h
j
=
1
−v
1,
j
,1
u
1,
j
+
N−
1
i
=
2
(
v
i
−
1,
j
,1
− v
i
,
j
,1
)
u
i
,
j
+
v
N
−
1,
j
,1
u
N
,
j
M
=
h
i
=
1
−v
i
,1,2
u
i
,1
+
M−
1
j
=
2
(
v
i
,
j
−
1,2
− v
i
,
j
,2
)
u
i
,
j
+
v
i
,
M
−
1,2
u
i
,
M
N
+
h
h
2
N
j
=
1
−
(
∂
1
v
1
M
)
i
,
j
u
i
,
j
=(
)
i
,
j
−
(
∂
2
v
2
i
=
1
=
u
,
−
div
h
v
)
.
R
N
×
M
mit
Zu 3.: Zunächst zeigen wir, dass für
u
∈
u
=
1 stets gilt:
h
2
N−
1
M
j
=
1
u
i
+
1,
j
u
i
,
j
<
1,
h
2
N
M
1
j
=
1
u
i
,
j
+
1
u
i
,
j
<
1.
−
i
=
1
i
=
1
−
−
Angenommen, die erste Ungleichung ist nicht erfüllt. Bezeichne mit
v
i
,
j
=
−
u
i
+
1,
j
falls
<
=
i
0. Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und unter Hinzunahme von
Indizes folgt dann
N
und
v
N
,
j
1, das betrachtete Skalarprodukt kann also nur
den Wert 1 annehmen. Damit ist aber die Cauchy-Schwarz-Ungleichung scharf, es gilt
also
u
(
v
,
u
)
≤
v
u
≤
=
=
<
v
. Insbesondere ist
u
N
,
j
0 und es folgt rekursiv für
i
N
N
−
i
u
N
,
j
=
−
=(
−
)
=
u
i
,
j
u
i
+1,
j
1
0,
das heißt
u
=
0, ein Widerspruch. Analog beweist man die Gültigkeit der zweiten Un-
gleichung.
