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=
(
− σ
)
∈
Für diese Aussage sieht man leicht die Äquivalenz zu
s
max
0,
t
. Im Fall
p
+
σ∂ϕ
)
−
1
]
1,
∞
[
ist
s
=(
id
(
t
)
äquivalent zum Lösen der Gleichung
s
p−
1
.
t
=
s
+
σ
=
=
(
+
σ
)
Für
p
2 ist dies gleichbedeutend mit
s
t
/
1
in allen anderen Fällen ist die
Gleichungen nichtlinear, für
t
2 ganzzahlig
ist, lässt sich die Gleichung auch als Nullstellensuche für ein Polynom vom Grad
p
=
0 aber stets
s
=
0 die Lösung. Falls
p
>
−
1
auffassen. Das Problem kann dann bekanntermaßen für
p
3, 4, 5 geschlossen gelöst
werden (mit der
pq
-Formel, der Cardanischen Formel beziehungsweise der Methode
von Ferrari). Durch Substitution
s
p−
1
=
=
ξ
ist es möglich, diese Herangehensweise für
3
2
,
3
,
4
. Für alle
p
∈
]
1, 2
[
auszudehnen; auf diese Weise gelingt die Behandlung von
p
=
∈
]
∞[
anderen
p
sind wir im Allgemeinen auf eine numerische Methode angewiesen.
Das Newton-Verfahren für
t
1,
>
0 ergibt zum Beispiel die Iteration
s
p
−
1
t
−
s
n
−
σ
n
=
+
s
n
+1
s
n
.
s
p−
2
1
+
σ
(
p
−
1
)
n
Sie konvergiert monoton fallend und oft schon nach wenigen Iterationen hinreichend
genau, wenn man den Startwert
s
0
folgendermaßen wählt:
1
t
p
−
1
s
0
≥
t
und
s
0
<
falls
p
<
2,
σ
(
2
−
p
)
= ∞
siehe auch Übungsaufgabe 6.41. Bleibt noch der Fall
p
, dieser ist aber in Punkt 4
von Beispiel 6.137 behandelt, es folgt
s
.
Zusammengefasst lässt sich die Resolvente von
=
min
(
1,
t
)
L
2
,
R
N
∂
F
in einem Punkt
u
∈
(
Ω
)
∈
nun folgendermaßen berechnen (benutzt man den Newton-Algorithmus für alle
p
]
1,
∞
[
):
•
Der Fall
p
=
1
u
)
−
1
F
(
u
)=
Ω
|
u
(
x
)
|
d
x
⇒
(
id
+
σ∂
F
(
u
)=
max
(
0,
|
u
|−
σ
)
.
|
u
|
Diese Operation entspricht also genau dem Soft-Thresholding.
•
Der Fall
p
=
2
1
2
u
2
d
x
)
−
1
F
(
u
)=
Ω
|
u
(
x
)
|
⇒
(
id
+
σ∂F
(
u
)=
.
1
+
σ
•
Der Fall
p
=
∞
u
u
)
−
1
F
(
u
)=
I
}
(
u
)
⇒
(
id
+
σ∂
F
(
u
)=
min
(
1,
|
u
|
)
|
=
.
{
∞
≤
v
1
|
(
|
|
)
u
max
1,
u
Die Resolvente stellt demnach die punktweise Projektion auf den abgeschlossenen
Einheitsball in
R
N
dar.
