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<
∞
Das Newton-Verfahren entspricht folgender Prozedur.
1.
<
•
Der Fall
1
p
und wähle ein
v
0
L
2
=
|
|
∈
(Ω)
Setze
v
u
mit
⎧
⎨
v
0
(
x
)
≥
v
(
x
)
fast-überall in
Ω
v
1
(
x
)
⎩
p
−
1
v
0
(
)
<
{
(
)
=
}
<
x
fast-überall in
v
x
0
falls
p
2.
σ
(
−
)
2
p
2.
Iteriere
v
n
v
n
p
−
1
−
− σ|
|
v
v
n
+1
v
n
=
+
2
.
−
+
σ
(
−
)
|
v
n
|
p
1
p
1
Die Folge konvergiert monoton fallend punktweise fast-überall gegen ein
v
∗
∈
L
2
, nach dem Satz von Lebesgue (Satz 2.47) sogar in
L
2
(Ω)
(Ω)
.
Mit der skalaren Grenzfunktion
v
∗
=(
p
−
1
)
−
1
3.
id
+
σ
|·|
◦
u
gilt
1
p
·
u
p
p
)
−
1
v
∗
F
=
⇒
(
id
+
σ∂
F
(
u
)=
.
|
u
|
Fahren wir mit der Diskussion einer geeigneten Optimierungsmethode fort. Sind die
Annahmen erfüllt, unter denen die Fixpunktiteration (6.84) hergeleitet wurde, so stellt
diese schon eine geeignete Methode dar. Leider wird aber die Annahme nach der ste-
tigen Differenzierbarkeit eines Summanden bei Variationsproblemen in der Bildverar-
beitung häufig verletzt: Betrachtet man das einfache Beispiel der Tichonow-Funktionale
(vergleiche Beispiel 6.32)
p
X
q
Y
u
0
)=
λ
)=
−
u
v
min
u
F
1
(
u
)+
F
2
(
Au
)
,
F
1
(
u
,
F
2
(
v
,
p
q
∈X
so ist
F
2
im ungünstigsten Fall stetig, aber nicht stetig differenzierbar. Wünschenswert
wäre demnach ein Verfahren, welches allgemeinere
F
2
zulässt.
An dieser Stelle kommt die Fenchel-Dualität ins Spiel. Wir nehmen an,
F
2
lässt sich
als Fenchel-Konjugierte bezüglich eines reellen Hilbert-Raumes
Y
darstellen, also
F
2
=
F
∗∗
2
Y
∗
auch bei der Konjugation miteinander
=
in
Y
. Im Folgenden seien die Räume
Y
identifiziert, also
F
2
(
F
2
(
w
∈
Y
:
w
)=
sup
v
∈Y
(
w
,
v
)
Y
−
F
2
(
v
)
,
v
∈
Y
:
F
2
(
v
)=
sup
w
∈Y
(
v
,
w
)
Y
−
w
)
und analoges für die Konjugation in
X
. Wir postulieren nun auch für
F
2
, dass dieses
Funktional eine hinreichend „einfache“ Struktur besitzt, treffen aber keine Annahmen
über die Stetigkeit oder Differenzierbarkeit.
Für das Folgende wird weiterhin die Gültigkeit der Fenchel-Rockafellar-Dualität
(siehe Satz 6.68 für hinreichende Bedingungen) benötigt:
F
1
(
−
A
∗
w
F
2
(
max
w
∈Y
−
)
−
w
)=
min
u
F
1
(
u
)+
F
2
(
Au
)
.
(6.86)
∈X
