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was wiederum äquivalent ist zu
+
σ∂ϕ
)
−
1
u
)
für fast alle
v
∗
(
)=(
(
∈
Ω
x
id
x
x
.
Die Resolvente genügt damit der Identität
)
−
1
+
σ∂ϕ
)
−
1
(
id
+
σ∂F
(
u
)=(
id
◦
u
.
Im Spezialfall der endlichen Summation geht es noch allgemeiner. Wählt man eine
Familie
ϕ
M
:
R
N
→
von eigentlichen, konvexen und unterhalbstetigen
Funktionalen, so bekommt man für
u
:
ϕ
1
,...,
R
∞
R
N
{
1, . . . ,
M
}→
M
j
=1
ϕ
j
(
u
j
)
)
−
1
+
σ∂ϕ
j
)
−
1
F
(
u
)=
⇒
(
I
+
σ∂
F
(
u
)
j
=(
I
(
u
j
)
.
Wendet man die Rechenregeln für die Resolvente in diesen Beispielen geschickt an,
ergibt sich eine nicht zu kleine Klasse von Funktionalen, für die man die Resolvente
elementar berechnen und man daher für praktische numerische Algorithmen benutzen
kann. Eine wichtige Anwendung ist dabei, die Resolvente zu der
p
-ten Potenz der
L
p
-
Normen auszurechnen.
p
p
)
1
p
·
Beispiel 6.138
(Resolvente von
∂
L
2
,
R
N
Wir betrachten auf
X
=
(
Ω
)
bezüglich des Maßraumes
(
Ω
,
F
,
μ
)
für
p
∈
[
1,
∞
[
das Funktional
u
)
1
p
p
d
x
F
(
u
)=
(
x
Ω
beziehungsweise, für
p
=
∞
,
u
)
d
x
(
)=
(
F
u
I
x
{|·|≤
}
1
Ω
und wollen für
0 die Resolvente des Subgradienten bestimmen. Nach Punkt 5 in
Beispiel 6.137 können wir uns auf die Resolvente des Subgradienten von
x
σ
>
p
in
R
N
beschränken. Dieses Funktional hängt wiederum nur von der euklidischen Norm
|·|
1
p
→
|
|
x
ab, nach Punkt 2 in Beispiel 6.137 müssen wir lediglich die Resolvente von
∂ϕ
p
mit
p
t
p
falls
t
≥
0
(
)=
<
∞
ϕ
∞
(
)=
]
−
∞,1]
(
)
= ∞
ϕ
p
t
für
p
,
t
I
t
für
p
0
sonst
als Funktion in
R
kennen, und das auch nur für nichtnegative Argumente. Disku-
tieren wir dies für ein festes
t
≥
=
0 und verschiedene
p
: Im Fall
p
1 bedeutet
+
σ∂ϕ
)
−
1
s
=(
id
(
t
)
definitionsgemäß
[
0,
σ
]
falls
s
=
0
t
∈
{
s
+
σ
}
sonst.
