Image Processing Reference
In-Depth Information
+
σ∂ϕ
)
−
1
(
(
)=
Da aber wegen der Monotonie von
ϕ
die Identität
id
0
0 gilt, kann
0
0
man das, einigt man sich auf die Schreibweise
=
1, auch ausdrücken durch
id
+
σ∂
(
ϕ
◦·
X
)
−
1
+
σ∂ϕ
)
−
1
X
u
(
u
)=(
id
u
X
.
u
3.
Quadratisch-lineare Funktionale
Es sei
Q
:
X
X
eine lineare, stetige, selbstadjungierte, und positiv semi-definite
Abbildung, das heißt
Q
→
∈L
(
X
,
X
)
mit
(
Qu
,
v
)=(
u
,
Qv
)
für alle
u
,
v
∈
X
und
(
)
≥
∈
Qu
,
u
0 für alle
u
. Ferner sei
w
X
beliebig. Betrachte das Funktional
)=
(
)
X
Qu
,
u
(
+(
)
X
,
F
u
w
,
u
2
welches differenzierbar mit Ableitung D
F
(
u
)=
Qu
+
w
ist. Aufgrund der Vor-
aussetzungen an
Q
gilt
)
X
=
(
Qu
,
u
)
X
(
)+(
(
)
−
+(
)
X
+(
+
−
)
X
F
u
D
F
u
,
v
u
w
,
u
Qu
w
,
v
u
2
=
−
(
Qu
,
u
)
X
)
X
−
(
Qv
,
v
)
X
+
(
Qv
,
v
)
X
+(
Qu
+
w
,
v
2
2
2
=
−
(
(
−
)
(
−
))
X
+
(
)
X
Q
u
v
,
u
v
Qv
,
v
+(
)
X
w
,
v
2
2
≤
F
(
v
)
für alle
u
,
v
∈
X
, daraus folgt mit Satz 6.33 die Konvexität von
F
. Zu gegebenen
σ
und
u
∈
X
möchten wir die Resolvente bestimmen. Nun ist
u
=
v
+
σ
Qv
+
σ
w
)
−
1
=(
+
σ
(
− σ
)
genau dann, wenn
v
id
Q
u
w
, folglich gilt
)
−
1
)
−
1
(
+
σ∂
(
)=(
+
σ
◦
id
F
u
id
Q
T
w
.
−
σ
In endlichdimensionalen Räumen entspricht demnach die Resolvente einer Ver-
schiebung (welche leicht numerisch zu realisieren ist) und der anschließenden
Lösung eines linearen Gleichungssystems. Wie man leicht sieht, wird id
+
σQ
durch eine positiv definite Matrix dargestellt, man kann zum Ausrechnen von
(
)
−
1
zum Beispiel auf das Verfahren der konjugierten Gradienten
zurückgreifen und eventuell einen Vorkonditionierer einsetzen [135].
id
+
σ
Q
(
u
−
σ
w
)
4.
Indikator-Funktionale
Zu
K
⊂
X
nichtleer, konvex und abgeschlossen sei
F
=
I
K
das assoziierte Indika-
∈
torfunktional. Die Resolvente in
u
X
entspricht der Lösung der Aufgabe (6.83),
welche äquivalent ausgedrückt der Projektionsaufgabe
2
X
K
−
v
u
min
v
2
∈
entspricht. Es ist also
)
−
1
(
+
σ∂
(
)=
(
)
id
I
K
u
P
K
u
,
