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insbesondere hängt die Resolvente nicht von
ab. Ohne mehr Information über K
kann die Projektion nicht im Allgemeinen nicht elementar ausgerechnet werden,
es gibt aber Spezialfälle in denen das möglich ist.
(a) K ist ein nichtleeres, abgeschlossenes Intervall in R . Je nachdem, in welches
Richtung es beschränkt ist, ergibt sich
σ
) 1
K
=[
a ,
[
(
id
+ σ∂
I K
(
t
)=
max
(
a , t
)
I K ) 1
K
=]
, b
] (
id
+ σ∂
(
t
)=
min
(
b , t
)
max a , min
) .
+ σ∂I K ) 1
K
=[
a , b
]
(
id
(
t
)=
(
b , t
(b) K ist ein abgeschlossener Unterraum. Mit einem vollständigen Orthogonal-
system V von K lautet die Projektion P K (
v . Die Formel wird
handlicher, falls K separabel ist, in diesem Fall ist V höchstens abzählbar und
u
)=∑ v V (
v , u
)
dim K
n =1 ( v n , u ) X v n .
P K (
u
)=
v 1 ,..., v N
Falls für einen Unterraum K mit dim K
}
zur Verfügung steht, für die die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung zu auf-
wändig wäre, kann man die Projektion P K
<
lediglich eine Basis
{
(
u
)
auch durch die Lösung des
linearen Gleichungssystems
R N :
v i , v j
u , v j
x
Mx
=
b , M i , j =(
) X ,
b j =(
) X
1 x i v i errechnen. Die Matrix M ist nach Defi-
nition positiv definit und folglich invertierbar, kann aber, abhängig von der
Wahl der Basis
N
i
(
)=∑
und setzen von P K
u
=
v i
{
}
schlecht konditioniert sein.
5.
Konvexe Integration und Summation
Sei X
L 2
, R N
=
( Ω
)
der Lebesgue-Hilbert-Raum bezüglich eines Maßraumes
: R N
μ )
,
F
,
und sei für
ϕ
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig die
+ σ∂ϕ ) 1
Resolvente
(
id
bekannt. Darüber hinaus gelte
ϕ
0 und
ϕ (
0
)=
0 falls
Ω
unendliches Maß hat und
ϕ
nach unten beschränkt sonst (vergleiche auch die
Beispiele 6.23 und 6.29).
Das zur Resolvente vom Subgradienten von
Ω ϕ u
) d x
F
(
u
)=
(
x
assoziierte Minimierungsproblem (6.83) wird dann zu
2
+ σϕ v
) d x ,
|
(
)
(
) |
v
x
u
x
min
(
x
2
L 2
( Ω
, R N
)
v
Ω
und nach Beispiel 6.50 lässt sich das Subdifferential davon punktweise fast-überall
ausdrücken. Folglich gilt v =(
) 1
+ σ∂
(
)
id
F
u
genau dann, wenn
)+ σ∂ϕ v (
) für fast alle
v (
)
(
Ω
0
x
u
x
x
x
,
 
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