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In-Depth Information
insbesondere hängt die Resolvente nicht von
ab. Ohne mehr Information über
K
kann die Projektion nicht im Allgemeinen nicht elementar ausgerechnet werden,
es gibt aber Spezialfälle in denen das möglich ist.
(a)
K
ist ein nichtleeres, abgeschlossenes Intervall in
R
. Je nachdem, in welches
Richtung es beschränkt ist, ergibt sich
σ
)
−
1
K
=[
a
,
∞
[
⇒
(
id
+
σ∂
I
K
(
t
)=
max
(
a
,
t
)
I
K
)
−
1
K
=]
−
∞
,
b
]
⇒
(
id
+
σ∂
(
t
)=
min
(
b
,
t
)
max
a
, min
)
.
+
σ∂I
K
)
−
1
K
=[
a
,
b
]
⇒
(
id
(
t
)=
(
b
,
t
(b)
K
ist ein abgeschlossener Unterraum. Mit einem vollständigen Orthogonal-
system
V
von
K
lautet die Projektion
P
K
(
v
. Die Formel wird
handlicher, falls
K
separabel ist, in diesem Fall ist
V
höchstens abzählbar und
u
)=∑
v
∈
V
(
v
,
u
)
dim
K
n
=1
(
v
n
,
u
)
X
v
n
.
P
K
(
u
)=
v
1
,...,
v
N
Falls für einen Unterraum
K
mit dim
K
}
zur Verfügung steht, für die die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung zu auf-
wändig wäre, kann man die Projektion
P
K
<
∞
lediglich eine Basis
{
(
u
)
auch durch die Lösung des
linearen Gleichungssystems
R
N
:
v
i
,
v
j
u
,
v
j
x
∈
Mx
=
b
,
M
i
,
j
=(
)
X
,
b
j
=(
)
X
1
x
i
v
i
errechnen. Die Matrix
M
ist nach Defi-
nition positiv definit und folglich invertierbar, kann aber, abhängig von der
Wahl der Basis
N
i
(
)=∑
und setzen von
P
K
u
=
v
i
{
}
schlecht konditioniert sein.
5.
Konvexe Integration und Summation
Sei
X
L
2
,
R
N
=
(
Ω
)
der Lebesgue-Hilbert-Raum bezüglich eines Maßraumes
:
R
N
(Ω
μ
)
→
,
F
,
und sei für
ϕ
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig die
∞
+
σ∂ϕ
)
−
1
Resolvente
(
id
bekannt. Darüber hinaus gelte
ϕ
≥
0 und
ϕ
(
0
)=
0 falls
Ω
unendliches Maß hat und
ϕ
nach unten beschränkt sonst (vergleiche auch die
Beispiele 6.23 und 6.29).
Das zur Resolvente vom Subgradienten von
Ω
ϕ
u
)
d
x
F
(
u
)=
(
x
assoziierte Minimierungsproblem (6.83) wird dann zu
2
+
σϕ
v
)
d
x
,
|
(
)
−
(
)
|
v
x
u
x
min
(
x
2
∈
L
2
(
Ω
,
R
N
)
v
Ω
und nach Beispiel 6.50 lässt sich das Subdifferential davon punktweise fast-überall
ausdrücken. Folglich gilt
v
∗
=(
)
−
1
+
σ∂
(
)
id
F
u
genau dann, wenn
)+
σ∂ϕ
v
∗
(
)
für fast alle
v
∗
(
∈
)
−
(
∈
Ω
0
x
u
x
x
x
,