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(in diesem Fall aber nicht im Intervall enthalten). Die so definierten Funktionen
G
−
,
G
+
sind monoton in dem Sinn, dass
G
+
(
G
−
(
s
)
≤
t
)
falls
s
<
t
.
)
−
1
Häufig kann man
numerisch annähern. Angenommen, wir wüss-
ten, auf welches Intervall wir uns einschränken können, das heißt, wir haben
s
−
<
(
id
+
σ∂
F
(
t
)
s
+
mit
s
+
+
σ
G
+
(
s
−
)
<
s
+
+
σ
G
−
(
s
+
)
t
<
(6.85)
so lässt sich ein Bisektionsschritt wie folgt durchführen:
•
1
2
s
−
+
s
+
)
G
−
(
,
G
+
(
Wähle
s
=
(
und überprüfe ob,
t
∈
s
+
σ
[
s
)
s
)]
: in diesem
)
−
1
Fall ist
s
=(
id
+
σ∂
F
(
t
)
.
G
−
(
ersetze
s
+
durch
s
.
•
Im Fall
t
<
s
+
σ
s
)
ersetze
s
−
durch
s
.
Man sieht sofort, dass, wurde die Lösung nicht gefunden, die neuen Intervall-
grenzen
s
−
,
s
+
wieder (6.85) erfüllen, man kann also, wenn nötig, bis zu einer
gewünschten Genauigkeit iterieren.
Es sei weiterhin bemerkt, dass sich im Falle
F
stetig differenzierbar die Berech-
nung der Resolvente auf die Lösung der Gleichung
G
+
(
>
+
σ
)
•
Im Fall
t
s
s
F
(
+
σ
)=
s
s
t
reduziert. Haben wir eine approximierende Lösung
s
0
, in der
F
differenzierbar
ist, kann man auch das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer besseren Ap-
proximation benutzen:
F
(
t
−
s
0
−
σ
s
0
)
s
=
s
0
+
.
F
(
1
+
σ
s
0
)
Besitzt
F
hinreichend gute Eigenschaften und ist
s
0
bereits nah genug an der Lö-
sung, konvergiert die entsprechende Iteration schneller als die Bisektion und ist
dieser vorzuziehen. Diese Voraussetzungen müssen allerdings nicht immer erfüllt
sein.
2.
Norm-Funktionale
Nimmt
F
die Form
F
)=
ϕ
X
mit
(
[
∞[
→
eigentlich, konvex, un-
terhalbstetig und monoton steigend an, so muss zur Berechnung von
u
u
ϕ
:
0,
R
∞
)
−
1
(
id
+
σ∂F
)
−
1
=(
+
σ∂
(
)
nur die Resolvente von
ϕ
bekannt sein: Es gilt
v
id
F
u
genau dann,
wenn
)=
∂
2
·
F
)=
∂
2
|·|
+
σϕ
◦·
X
2
X
2
u
∈
v
+
σ∂
F
(
v
+
σ
(
v
(
v
)
X
(
=
{
∈
)
X
=
X
X
,
X
∈
(
+
σ∂ϕ
)(
X
)
}
w
w
,
v
w
v
w
id
v
(
)
X
=
X
X
genau dann, wenn
v
=
λ
siehe auch Beispiel 6.49. Es gilt
u
,
v
u
v
u
für
ein
λ
≥
0, damit sind die definierenden Eigenschaften letzterer Menge äquivalent
+
σ∂ϕ
)
−
1
zu
v
X
=(
id
(
u
X
)
und
v
=
λ
u
für ein
λ
≥
0 und das wiederum zu
+
σ∂ϕ
)
−
1
u
(
(
X
)
=
id
u
falls
u
0
u
X
v
=
0
falls
u
=
0.