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(in diesem Fall aber nicht im Intervall enthalten). Die so definierten Funktionen
G , G + sind monoton in dem Sinn, dass G + (
G (
s
)
t
)
falls s
<
t .
) 1
Häufig kann man
numerisch annähern. Angenommen, wir wüss-
ten, auf welches Intervall wir uns einschränken können, das heißt, wir haben
s <
(
id
+ σ∂
F
(
t
)
s + mit
s + + σ
G + (
s ) <
s + + σ
G (
s + )
t
<
(6.85)
so lässt sich ein Bisektionsschritt wie folgt durchführen:
1
2
s +
s + )
G (
, G + (
Wähle s
=
(
und überprüfe ob, t
s
+ σ [
s
)
s
)]
: in diesem
) 1
Fall ist s
=(
id
+ σ∂
F
(
t
)
.
G (
ersetze s + durch s .
Im Fall t
<
s
+ σ
s
)
ersetze s durch s .
Man sieht sofort, dass, wurde die Lösung nicht gefunden, die neuen Intervall-
grenzen s , s + wieder (6.85) erfüllen, man kann also, wenn nötig, bis zu einer
gewünschten Genauigkeit iterieren.
Es sei weiterhin bemerkt, dass sich im Falle F stetig differenzierbar die Berech-
nung der Resolvente auf die Lösung der Gleichung
G + (
>
+ σ
)
Im Fall t
s
s
F (
+ σ
)=
s
s
t
reduziert. Haben wir eine approximierende Lösung s 0 , in der F differenzierbar
ist, kann man auch das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer besseren Ap-
proximation benutzen:
F (
t
s 0
σ
s 0
)
s
=
s 0 +
.
F (
1
+ σ
s 0
)
Besitzt F hinreichend gute Eigenschaften und ist s 0 bereits nah genug an der Lö-
sung, konvergiert die entsprechende Iteration schneller als die Bisektion und ist
dieser vorzuziehen. Diese Voraussetzungen müssen allerdings nicht immer erfüllt
sein.
2.
Norm-Funktionale
Nimmt F die Form F
)= ϕ
X mit
(
[
∞[
eigentlich, konvex, un-
terhalbstetig und monoton steigend an, so muss zur Berechnung von
u
u
ϕ
:
0,
R
) 1
(
id
+ σ∂F
) 1
=(
+ σ∂
(
)
nur die Resolvente von
ϕ
bekannt sein: Es gilt v
id
F
u
genau dann,
wenn
)= 2 ·
F
)= 2 |·|
+ σϕ
◦· X
2
X
2
u
v
+ σ∂
F
(
v
+ σ
(
v
(
v
)
X (
= {
) X =
X
X ,
X (
+ σ∂ϕ )(
X ) }
w
w , v
w
v
w
id
v
(
) X =
X
X genau dann, wenn v
= λ
siehe auch Beispiel 6.49. Es gilt
u , v
u
v
u für
ein
λ
0, damit sind die definierenden Eigenschaften letzterer Menge äquivalent
+ σ∂ϕ ) 1
zu
v
X =(
id
(
u
X )
und v
= λ
u für ein
λ
0 und das wiederum zu
+ σ∂ϕ ) 1
u
(
(
X )
=
id
u
falls u
0
u
X
v
=
0
falls u
=
0.
 
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