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Der Ansatz lässt sich auch auf Euler-Lagrange-Gleichungen ausdehnen, die keine
reinen partiellen Differentialgleichungen darstellen.
Beispiel 6.132
(Variationelles Entfalten)
Wandelt man die Optimalitätsbedingungen (6.42) der Entfaltungsaufgabe in Anwen-
dungsbeispiel 6.97 in eine instationäre Gleichung um und setzt, der Einfachheit halber,
q
=
2, so führt dies zur Aufgabe
⎧
⎨
div
u
∂
u
∂
−
k
p
2
u
0
t
−
|∇
|
∇
=(
−
∗
)
∗
]
∞[
×
Ω
u
u
k
in
0,
p
−
2
|∇
|
∇
· ν
=
]
∞[
× ∂
Ω
u
u
0
auf
0,
⎩
u
(
0,
·
)=
f
in
Ω
.
Durch die Faltung tauchen dort implizit neben Differentialtermen auch Integralterme
auf. Zu der Diskretisierung der partiellen Differentialgleichung, die wir analog zu Bei-
spiel 6.130 vornehmen, muss folglich auch die Faltung diskretisiert werden. Aus Ab-
schnitt 3.3.3 ist bekannt, wie man das bewerkstelligen kann, wir bezeichnen daher die
Matrix zur Faltung mit
k
auf diskreten Bildern mit
B
und dessen Adjungierte, die Ma-
trix zur Faltung mit
k
, mit
B
∗
. Die rechte Seite der Gleichung ist affin-linear in
u
, die
rechte Seite kann bei einem semi-impliziten Verfahren implizit genommen werden, also
U
n
+
1
U
n
−
1
h
2
A
U
n
U
n
+1
B
∗
U
0
B
∗
B
U
n
+1
.
−
(
)
=
−
τ
Umgeformt führt dies zur Iteration
id
−
1
−
h
2
A
U
n
+
1
B
∗
B
B
∗
U
0
U
n
U
n
=
+
τ
(
)
(
+
τ
)
.
Man kann sich leicht überlegen, dass die Inverse in der Formulierung stets existieren
muss, die Iteration also wohldefiniert ist.
Bemerkung 6.133
In einem abstrakten Sinn realisiert das in diesem Unterabschnitt vorgestellte Verfahren
das, was man
Gradientenfluss
nennt. Ist
X
ein Hilbert-Raum und
F
:
X
R
ein stetig dif-
ferenzierbares Funktional, so definiert, mit Hilfe der Riesz-Abbildung,
u
→
J
−
1
X
→
D
F
(
u
)
ein stetiges „Vektorfeld“. Stellt man nun die Aufgabe, ein
u
:
[
0,
∞
[
→
X
zu finden, für
welches
∂
u
∂
J
−
1
X
u
0
t
=
−
D
F
(
u
)
für
t
>
0,
u
(
0
)=
mit einem
u
0
∈
X
gilt, so folgt für jede Lösung
∂
t
D
F
u
)
,
∂
u
∂
=
−
D
F
u
)
,D
F
u
)
X
∗
F
◦
u
(
t
)=
(
t
t
(
t
)
(
t
(
t
∂
=
−
D
F
u
)
2
X
∗
≤
(
t
0
Damit verringert
u
mit zunehmenden
t
die Funktionalwerte von
F
. Die Verwendung
des Gradientenflusses als Minimierungsverfahren scheint somit plausibel.
(
t
)
