Image Processing Reference
In-Depth Information
(
)
i
,
j
±
(
)
und
A
U
analog, so ergibt sich mit der Matrix
A
U
laut (5.23) folgendes semi-
2
implizites Verfahren:
id
−
1
U
n
)
.
−
h
2
A
U
n
+1
U
n
U
0
U
n
q
−
2
U
0
U
n
=
(
)
+
τ
|
−
|
(
−
In jedem Zeitschritt muss dann ein lineares Gleichungssystem gelöst werden, was nu-
merisch effizient möglich ist.
Ist
p
<
annehmen.
Dies kann numerische Probleme bereiten. Eine naheliegende Lösung dafür ist beispiels-
weise der folgende Trick: Wir wählen ein „kleines“
2, so können die Werte von
A
beliebig groß werden oder sogar
∞
ε
>
0 und ersetzen
|∇
U
|
durch
2
2
=
(
−
)
+
(
−
)
U
i
+1,
j
U
i
,
j
U
i
,
j
+1
U
i
,
j
2
i
,
j
2
.
|∇
|
+
ε
U
h
2
h
2
Auf diese Weise werden Singularitäten in
A
vermieden und mit
p
1 ist es sogar
möglich, das Entrauschverfahren mit Totalvariation-Strafterm aus Beispiel 6.124 zu ap-
proximieren. Die Herangehensweise geht jedoch leider auf Kosten der Genauigkeit, bei
ungeschickter Wahl von
=
ε
kann sich die Qualität der Ergebnisse verschlechtern.
Beispiel 6.131
(Variationelles Inpainting)
In Anwendungsbeispiel 6.98 führt die Euler-Lagrange-Gleichung zu einer partiellen
Differentialgleichung in
Ω
, ihre Skalenraumversion lautet
⎨
div
u
in
∂
u
∂
p
−
2
∞[
×
Ω
t
=
|∇
|
∇
]
u
0,
u
0
∞
[
×
∂
Ω
u
=
auf
]
0,
⎩
u
0
Ω
u
(
0,
·
)=
|
Ω
in
wobei
u
0
Ω
\
Ω
dem auszumalenden Bild entspricht.
Ein Verfahren zur numerischen Lösung lässt sich folgendermaßen herleiten. Wir
nehmen an, das diskrete auszumalende Bild
U
0
H
1,
p
∈
(Ω)
auf
ist auf einem Rechteckgitter gegeben.
Ω
h
Ω
bezeichnet. Der Einfach-
Mit
sei nun die Menge der diskreten Gitterpunkte in
Ω
h
enthält keine Randpunkte des Rechteckgitters. Damit
definieren wir den
diskreten Rand
:
(
∂
Ω
)
h
=
(
heit halber nehmen wir an,
∈
Ω
h
{
(
)
}∩
Ω
h
=
∅
.
i
,
j
)
/
i
−
1,
j
)
,
(
i
+
1,
j
)
,
(
i
,
j
−
1
)
,
(
i
,
j
+
1
Ω
h
∪
(
∂
Ω
)
h
definiert. Für ein gegebenes
Die diskreten Bilder
U
seien im Folgenden auf
U
bezeichne nun mit
A
(
U
)
|
Ω
h
die Einschränkung der Matrix
A
(
U
)
aus Beispiel 6.130
Ω
h
, das heißt, die Matrix, die durch Streichen der Spalten und Zeilen zu den Indi-
zes entsteht, die
nicht
zu
auf
Ω
h
gehören. Ein semi-implizites Verfahren ist dann durch das
sukzessive Lösen des linearen Gleichungssystems
id
)
|
Ω
h
U
n
+1
Ω
h
−
h
2
A
U
n
U
n
(
|
Ω
h
=
|
Ω
h
(
∂
Ω
)
h
U
n
+1
U
0
|
(
∂
Ω
)
h
gegeben. Wie schon in Beispiel 6.130 muss man möglicherweise für
p
id
|
(
∂
Ω
)
h
=
<
2 die Diffusi-
(
)
onskoeffizienten
A
U
durch eine geglättete Version ersetzen.
