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Für reelle Hilbert-Räume
X
lässt sich der Begriff des Gradientenflusses auf Subgra-
dienten verallgemein
ern. Ist
F
:
X
→
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig, kann
∞
man zu jedem
u
0
∈
[
∞[
→
dom
∂
F
zeigen, dass es eine Funktion
u
:
0,
X
gibt, die in
einem gewissen Sinn
F
u
)
für
−
∂
u
∂
u
0
t
(
)
∈ ∂
(
>
(
)=
t
t
t
0,
u
0
genügt. Das Studieren dieser Lösungen ist Gegenstand der Theorie der nichtlinea-
ren Halbgruppen und monotonen Operatoren im Hilbert-Raum, siehe zum Beispiel
[21, 129].
Wie die Beispiele zeigen, lassen sich aus den Optimalitätsbedingungen zu einer Va-
riationsaufgabe leicht numerische Verfahren entwickeln, die auf der gut entwickelten
Theorie der Numerik partieller Differentialgleichungen zurückgreifen kann. Wie in den
Beispielen 6.130-6.132 zu erkennen ist, sind wir allerdings teilweise gezwungen, Mo-
difikationen vorzunehmen, um ungewollte numerische Effekte zu verhindern (der Fall
p
<
2 in den Diffusionsgleichungen). Die Ursache liegt in der Unstetigkeit der Differen-
tialoperatoren oder, abstrakter ausgedrückt, an der Unstetigkeit des Subdifferentials.
Diese kann, im Gegensatz zur Unstetigkeit von linearen Abbildungen, auch in endli-
chen Dimensionen auftreten und führt zu Problemen in numerischen Algorithmen.
Wir wollen uns daher noch einen anderem Zugang widmen, der nicht so stark von
der Auswertung von allgemeinen Subdifferentialen abhängt.
6.4.2 Primale-duale Algorithmen
Es sei erneut die Aufgabe betrachtet, ein eigentliches, konvexes und unterhalbstetiges
F
zu minimieren, diesmal auf einem reellen Hilbert-Raum
X
. Im Folgenden identifizieren
wir, via der Riesz-Abbildung,
X
X
∗
. Insbesondere fassen wir das Subdifferential als
=
Graph auf
X
ist damit stets eine Teilmenge von
X
.
Angenommen,
F
habe nun die Form
F
×
X
auf,
∂
F
(
u
)
=
+
◦
→
F
1
F
2
A
, wobei
F
1
:
X
R
eigentlich,
∞
konvex, unterhalbstetig,
A
R
kon-
vex, stetig differenzierbar sei. Weiterhin postulieren wir, dass
F
1
eine „einfache“ Struk-
tur hat, darauf sei später noch genauer eingegangen. Die Euler-Lagrange-Gleichungen
für die Optimalität von
u
∗
bezüglich des Problems
∈L
(
X
,
Y
)
für einen Banach-Raum
Y
sowie
F
2
:
Y
→
(
)+
(
)
min
u
F
1
u
F
2
Au
(6.81)
∈
X
lauten nach Satz 6.51 damit
u
∗
)+
A
∗
D
F
2
Au
∗
)
∈ ∂
(
(
0
F
1
.
