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Abbildung 6.24.
Beispiele für TV-Interpolation mit perfektem Tiefpassfilter. Links und rechts außen: Die jewei-
ligen Ursprungsbilder
U
0
. Mitte: Lösungen
u
∗
der jeweiligen TV-Interpolationsaufgabe mit 8-facher Vergrö-
ßerung. Alle Bilder sind mit der gleichen Auflösung dargestellt.
korrespondieren, in diesem Fall dem Totalvariations-Modell. Diese Forderungen führen
zur Minimierungsaufgabe
(Ω)
Av
=
U
0
min
(
)+
}
(
)
TV
u
I
u
.
(6.72)
L
q
{
v
∈
∈L
q
u
(Ω)
Sind nun konstante Funktionen nicht im Kern von
A
, so gewinnt man mit einer zu
Anwendungsbeispiel 6.100 analogen Argumentation und Satz 6.114 die Existenz eines
Minimierers
u
∗
. Wie schon in Beispiel 6.128 muss dieser allerdings nicht eindeutig sein.
Die Techniken zur Herleitung von Optimalitätsbedingungen für
u
∗
sind ebenfalls
aus Anwendungsbeispiel 6.100 bekannt, wir brauchen (6.48) nur für
∂
TV zu modifizie-
L
q
∗
)
i
,
j
assoziierten
w
i
,
j
→
(
∈
(Ω)
ren. Mit den zu den Linearformen
u
Au
, das heißt
)
i
,
j
=
Ω
uw
i
,
j
d
x
ist
u
∗
∈
L
q
(
Au
(
Ω
)
optimal im Sinne von (6.72) genau dann, wenn es
σ
∗
∈D
div,∞
λ
∗
∈
R
N×M
gibt mit
ein
und ein
⎧
⎨
σ
∗
∞
≤
1
N
i
M
j
σ
∗
=
∑
1
λ
i
,
j
w
i
,
j
∑
−
div
in
Ω
=
1
=
σ
∗
· ν
=
0
auf
∂
Ω
(6.73)
u
∗
σ
∗
=
∇
⎩
u
∗
|
|∇
-fast-überall
u
∗
|
|∇
1
≤
i
≤
N
,
u
∗
w
i
,
j
d
x
U
i
,
j
=
1
≤
j
≤
M
.
Ω
Optimale Lösungen
u
∗
erfüllen demnach eine Gleichung für die mittlere Krümmung,
die im von
w
i
,
j
aufgespannten Unterraum liegen muss. Sind alle
w
i
,
j
L
∞
(
Ω
)
,so
muss auch die mittlere Krümmung der Level-Sets von
u
∗
im wesentlichen beschränkt
sein.
Wie eine Lösung konkret aussieht, hängt natürlich von der Wahl von
w
i
,
j
und da-
mit vom Abtastoperator
A
ab, siehe Abbildung 6.24 für ein numerisches Beispiel. Wählt
{
}
∈
