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Abbildung 6.23.
TV-Inpainting verbindet die Level-Sets durch gerade Linien. Obere Zeile links: Ein künstlich
generiertes Bild mit markierten, breiter werdenden Inpainting-Regionen
Ω
. Rechts daneben sowie darunter:
Lösungen
u
∗
der Inpainting-Aufgabe (6.69) zu diesen Regionen. Deutlich zu sehen ist, dass einige Level-Sets
durch Geradenstücke verbunden werden. An den Stellen des Randes
∂
Ω
wo dies nicht geschieht, an dem die
Lösungen also springen, würde eine solche Verbindung die Totalvariation erhöhen.
Zusammengefasst stellen wir fest, dass das TV-Modell zwar geeignete Eigenschaf-
ten zur Restauration von Bilddaten hat, die Lösungen der TV-Inpainting-Aufgabe (6.69)
allerdings am Rand des auszumalenden Bereichs springen und ihn somit sichtbar ma-
chen können. Darüber hinaus werden unterbrochene Objektgrenzen, wenn überhaupt,
stets durch Geradenstücke verbunden, was nicht notwendigerweise zu der restlichen
Geometrie des Objekts passen muss.
Es sei noch erwähnt, dass Lösungen von (6.69) einem ähnlichen Maximumprinzip
wie im Fall des Inpaintings mit Sobolew-Halbnormen (Anwendungsbeispiel 6.98) genü-
gen. Weiterhin ist, wie bei der
L
1
-TV-Entrausch-Methode eine Variante der Grauwert-
Skalierungsinvarianz [GSI] aus Kapitel 5 erfüllt (Übungsaufgabe 6.39).
Beispiel 6.129
(Interpolation mit minimaler Totalvariation)
Der Einsatz des TV-Funktionals ist im Rahmen von Anwendungsbeispiel 6.100 eben-
falls möglich. Zur Erinnerung sei die Aufgabe noch einmal kurz dargestellt. Wir möch-
ten aus dem diskreten Bild
U
0
R
N
×
M
ein kontinuierliches
u
∗
∈
:
Ω
→
R
mit
bestimmen, welches einerseits eine Interpolation der Daten
U
0
Ω
=]
[
×
]
[
0,
N
0,
M
ent-
R
N
×
M
spricht: Für einen linearen, stetigen und surjektiven Abtastoperator
A
:
L
q
(
Ω
)
→
soll also
Au
∗
=
U
0
gelten. Andererseits soll
u
∗
gut mit einem Bildmodell
∈
]
]
mit
q
1, 2
