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Satz 2.18
(Vervollständigung von normierten Räumen)
Zu jedem normierten Raum
X
,
(
X
,
·
X
)
gibt es einen Banach-Raum
(
·
X
)
und eine nor-
X, so dass J
dicht in X ist.
→
(
)
merhaltende Abbildung J
:
X
X
X
und betrachtet den vervollständigten Raum
X
statt
X
. Eine Vervollständigung lässt sich auch den Übergang zu Äquivalenzklassen von
Cauchy-Folgen konstruieren, nach dem Satz von der inversen Abbildung ergibt sich
dadurch ein äquivalenter Banach-Raum.
Der Bidualraum ist auch in einem anderen Zusammenhang signifikant. Ist die In-
jektion
J
:
X
Häufig identifiziert man
X
⊂
X
∗∗
surjektiv, so wird
X reflexiv
genannt. Reflexive Räume spielen in
Verbindung mit schwacher Konvergenz eine besondere Rolle.
→
Definition 2.19
(Schwache Konvergenz, schwach*-Konvergenz)
Eine Folge
(
x
n
)
in einem normierten Raum
(
X
,
·
X
)
konvergiert
schwach
gegen ein
X
wenn für jedes
x
∗
∈
X
∗
gilt:
x
∈
x
∗
,
x
n
x
∗
,
x
→
∞
X
∗
×
X
=
X
∗
×
X
.
lim
n
In diesem Fall schreiben wir
x
n
x
für
n
→
∞
.
x
n
)
in
X
∗
schwach*
gegen ein
x
∗
∈
X
∗
, falls
(
Analog konvergiert eine Folge
x
n
,
x
x
∗
,
x
lim
n
→
∞
X
∗
×X
=
X
∗
×X
X
erfüllt ist, auch ausgedrückt durch
x
n
∗
x
∗
für
n
∈
→
∞
für jedes
x
.
Die Definition entspricht damit dem Begriff der Folgenkonvergenz in der schwa-
chen beziehungsweise schwach*-Topologie, auf die wir aber nicht weiter eingehen wer-
den. Während nun aus der Konvergenz in der Norm schwache Konvergenz folgt, ist
dies andersherum nur für endlichdimensionale Räume der Fall. Auch ist im Allgemei-
nen im Dualraum
X
∗
schwach*-Konvergenz eine schwächere Eigenschaft als schwache
Konvergenz, für reflexive Räume stimmen beide Begriffe jedoch überein. Nach dem
Satz von Banach-Steinhaus (Satz 2.15) sind schwach beziehungsweise schwach* kon-
vergente Folgen immerhin noch beschränkt, das heißt aus
x
n
x
für
n
→
∞
folgt
sup
n
X
<
∞
und Analoges für schwach*-Konvergenz.
Natürlich lassen sich Begriffe wie Stetigkeit und Abgeschlossenheit von Abbildun-
gen für diese Konvergenz verallgemeinern.
x
n
Definition 2.20
(Schwache, schwach* Stetigkeit, Abgeschlossenheit)
Es seien
X
,
Y
normierte Räume,
U
⊂
X
eine nichtleere Teilmenge.
→
•
Eine Abbildung
F
:
U
Y
heißt
{stark, schwach}-{stark, schwach}-stetig
falls aus der
{starken, schwachen} Konvergenz einer Folge
(
x
n
)
gegen ein
x
∈
U
die {starke,
(
(
))
(
)
schwache} Konvergenz von
F
x
n
gegen
F
x
folgt.
•
Sie ist
{stark, schwach}-{stark, schwach}-abgeschlossen
, wenn aus der {starken, schwa-
chen} Konvergenz von
(
x
n
)
gegen ein
x
∈
X
und der {starken, schwachen} Kon-
(
(
))
∈
∈
=
(
)
vergenz von
F
x
n
gegen ein
y
Y
folgt:
x
U
und
y
F
x
.
