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Unterräume von
X
und
X
∗
lassen sich folgendermaßen in Beziehung setzen. Für einen
Unterraum
U
⊂
X
ist der
Annulator
als die Menge
X
∗
U
⊥
=
{
x
∗
∈
x
∗
,
x
in
X
∗
=
0 für alle
x
∈
U
}
X
∗
als
⊂
beziehungsweise zum Unterraum
V
X
V
⊥
=
{
x
∗
,
x
0 für alle
x
∗
∈
∈
=
}
x
V
in
X
definiert.
U
⊥
und
V
⊥
sind stets abgeschlossene Unterräume. Annulatoren spielen unter
anderem eine Rolle bei der Charakterisierung der Dualräumen von Unterräumen.
Beispiel 2.17
(Dualräume)
Der Dualraum
X
∗
eines
N
-dimensionalen normierten Raumes
X
ist wieder
N
-
dimensional, also äquivalent zu sich selbst. Insbesondere gilt
1.
·
)
∗
K
N
,
(
=
K
N
,
(
·
∗
)
·
∗
die zu
·
wobei
duale Norm ist.
2.
Der Dualraum zu
Y
=
X
1
×···×
X
N
aus Beispiel 2.3 lässt sich auffassen als
x
1
,...,
x
∗
N
)
Y
∗
=
(
x
∗
N
X
N
)
∗
Y
∗
=
X
1
×···×
X
N
,
x
1
X
1
,...,
(
·
·
∗
.
mit der zu
dualen Norm
3.
Bei dem zu einem Unterraum
U
⊂
X
dualen Raum handelt es sich um den Quo-
tientenraum
U
∗
=
X
∗
/
U
⊥
versehen mit der Quotientennorm, siehe Beispiel 2.3.
Die Einbeziehung des Dualraums bildet zum Beispiel die Grundlage für die schwa-
che Konvergenz und häufig reflektiert
X
∗
wichtige Eigenschaften des
Prädualraumes X
.
Es ist gebräuchlich, die Anwendung von Elementen in
X
∗
auf Elemente in
X
als bilinea-
re Abbildung aufzufassen,
Dualpaarung
genannt:
·
X
∗
×X
:
X
∗
×
x
∗
,
x
x
∗
(
·
,
X
→
K
,
X
∗
×X
=
x
)
.
Der Subskript wird häufig weggelassen, sofern die Räume aus dem Kontext erkennbar
sind. Natürlich kann man die Bildung des Dualraums iterieren, der nächste Raum ist
der
Bidualraum X
∗∗
. Er enthält
X
in natürlicher Weise, die
kanonische Injektion
ist gegeben
durch:
X
∗∗
,
,
x
∗
X
∗∗
×X
∗
=
x
∗
,
x
J
:
X
→
J
(
x
)
X
∗
×X
,
J
(
x
)
X
∗∗
=
x
X
.
Letztere Identität, die Übereinstimmung der Normen, ist eine Konsequenz aus dem
Fortsetzungssatz von Hahn-Banach, die anders ausgedrückt
0
|
x
∗
,
x
x
∗
X
∗
∀
x
∗
∈
X
∗
}
x
X
=
inf
{
L
≥
| ≤
L
x
∗
,
x
0
|
|
x
∗
,
x
=
x
∗
X
∗
≤
1
|
|
=
sup
sup
x
∗
=
x
∗
X
∗
lautet. Der Bidualraum ist also stets mindestens so groß wie der Ursprungsraum. Man
kann nun den Abschluss von
J
in
X
∗∗
betrachten und erhält automatisch einen
Banach-Raum der
X
in einem gewissen Sinn enthält.
(
X
)