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Unterräume von X und X lassen sich folgendermaßen in Beziehung setzen. Für einen
Unterraum U
X ist der Annulator als die Menge
X
U = {
x
x , x
in X
=
0 für alle x
U
}
X als
beziehungsweise zum Unterraum V
X
V = {
x , x
0 für alle x
=
}
x
V
in X
definiert. U und V sind stets abgeschlossene Unterräume. Annulatoren spielen unter
anderem eine Rolle bei der Charakterisierung der Dualräumen von Unterräumen.
Beispiel 2.17 (Dualräume)
Der Dualraum X eines N -dimensionalen normierten Raumes X ist wieder N -
dimensional, also äquivalent zu sich selbst. Insbesondere gilt
1.
· )
K N ,
(
=
K N ,
(
· )
· die zu
·
wobei
duale Norm ist.
2.
Der Dualraum zu Y
=
X 1
×···×
X N aus Beispiel 2.3 lässt sich auffassen als
x 1 ,..., x N ) Y = (
x N X N )
Y =
X 1 ×···×
X N ,
x 1 X 1 ,...,
(
·
· .
mit der zu
dualen Norm
3.
Bei dem zu einem Unterraum U
X dualen Raum handelt es sich um den Quo-
tientenraum U =
X / U versehen mit der Quotientennorm, siehe Beispiel 2.3.
Die Einbeziehung des Dualraums bildet zum Beispiel die Grundlage für die schwa-
che Konvergenz und häufig reflektiert X wichtige Eigenschaften des Prädualraumes X .
Es ist gebräuchlich, die Anwendung von Elementen in X auf Elemente in X als bilinea-
re Abbildung aufzufassen, Dualpaarung genannt:
· X ×X : X ×
x , x
x (
·
,
X
K ,
X ×X =
x
)
.
Der Subskript wird häufig weggelassen, sofern die Räume aus dem Kontext erkennbar
sind. Natürlich kann man die Bildung des Dualraums iterieren, der nächste Raum ist
der Bidualraum X ∗∗ . Er enthält X in natürlicher Weise, die kanonische Injektion ist gegeben
durch:
X ∗∗ ,
, x X ∗∗ ×X =
x , x
J : X
J
(
x
)
X ×X ,
J
(
x
) X ∗∗ =
x
X .
Letztere Identität, die Übereinstimmung der Normen, ist eine Konsequenz aus dem
Fortsetzungssatz von Hahn-Banach, die anders ausgedrückt
0 |
x , x
x X
x
X }
x
X =
inf
{
L
| ≤
L
x , x
0 |
|
x , x
=
x X 1 |
| =
sup
sup
x =
x X
lautet. Der Bidualraum ist also stets mindestens so groß wie der Ursprungsraum. Man
kann nun den Abschluss von J
in X ∗∗ betrachten und erhält automatisch einen
Banach-Raum der X in einem gewissen Sinn enthält.
(
X
)
 
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