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Im Fall, dass
X
oder
Y
ein Dualraum ist, seien die entsprechenden schwach* Begriffe
analog mit schwach*-Konvergenz definiert.
Ein zentrales Motiv für die Betrachtung dieser Konvergenzbegriffe sind Kompakt-
heitsresultate, die in ihrer Aussage dem Satz von Heine-Borel im Endlichdimensionalen
ähneln.
•
Eine Teilmenge
U
X
ist
schwach folgenkompakt
, wenn jede Folge in
U
eine
schwach konvergente Teilfolge mit Grenzwert in
U
besitzt.
⊂
X
∗
ist
schwach* folgenkompakt
, wenn Analoges mit
•
Man sagt, eine Teilmenge
U
⊂
schwach*-Konvergenz gilt.
Satz 2.21
(Banach-Alaoglu für separable Räume)
Jeder abgeschlossener Ball im Dualraum eines separablen normierten Raumes ist schwach*-
folgenkompakt.
Satz 2.22
(Eberlein-Šmulyan)
Ein normierter Raum ist genau dann reflexiv, wenn jeder abgeschlossene Ball schwach folgen-
kompakt ist.
Dualräume, schwache und schwach*-Konvergenz lassen sich auch gut mit linearen
und stetigen Abbildungen in Verbindung bringen. Beispiele dafür sind die Adjunktion,
aber auch schwache und schwach*-Folgenstetigkeit.
Definition 2.23
(Adjungierte Abbildung)
Zu einem
F
∈L
(
)
X
,
Y
definiert
F
∗
y
∗
,
x
y
∗
,
Fx
X
,
y
∗
∈
Y
∗
X
∗
×
X
=
Y
∗
×
Y
∈
für alle
x
die
adjungierte Abbildung F
∗
∈L
(
Y
∗
,
X
∗
)
.
Bemerkung 2.24
Es gilt stets, dass
F
∗
linear und stetig ist wenn
F
linear und stetig ist. Darüber
hinaus ist
•
F
∗
=
F
; damit ist die Adjunktion eine lineare, stetige und normer-
haltende Abbildung.
dicht in
Y
, so ist
F
∗
injektiv, andersherum folgt aus der Injektivität von
F
die Dichtheit von rg
(
)
•
Ist rg
F
F
∗
)
(
.
•
Jede Abbildung
F
∈L
(
X
,
Y
)
ist auch
schwach folgenstetig
, denn für
(
x
n
)
in
X
mit
x
und beliebiges
y
∗
∈
Y
∗
folgt:
x
n
y
∗
,
Fx
n
F
∗
y
∗
,
x
n
F
∗
y
∗
,
x
y
∗
,
Fx
Y
∗
×Y
=
X
∗
×X
→
X
∗
×X
=
Y
∗
×Y
,
Fx
in
Y
. Analog sieht man, dass eine adjungierte Abbildung
F
∗
∈
also
Fx
n
schwach* folgenstetig
ist, also
y
n
∗
y
∗
immer
F
∗
y
n
∗
Y
∗
,
X
∗
)
F
∗
y
∗
impliziert.
L
(
