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−
σ · ν
=
D
div,∞
Erneut ist
div
σ
und
0 auf
∂
Ω
ein anderer Ausdruck für
. Die
∇
u
|∇u|
dom
T
u
⊂D
div,∞
Identität
mit dem nicht notwen-
digerweise stetigen Spuroperator
T
u
aus Bemerkung 6.119 und die Erfüllung der
Gleichung
T
u
σ
=
∇
u
σ
=
drückt implizit
σ
∈
in
L
|∇u|
(Ω
,
R
d
)
aus.
|∇u|
Bemerkung 6.123
(
∂
TV und die mittlere Krümmung)
H
1,1
d
, folglich ist
Ist
u
∈
(
Ω
)
, so gilt
(
∇
u
)
M
=(
∇
u
)
L
1
L
|
(
∇
u
)
M
|
-fast-überall gleichbe-
{
(
∇
)
L
1
=
}
deutend mit (Lebesgue)-fast-überall in
u
0
. Ferner gibt es die Übereinstim-
mung des Vorzeichens
(
∇
)=
(
∇
u
)
M
u
)
L
1
(
x
)
(
∈{
(
∇
)
L
1
=
}
x
für fast alle
x
u
0
.
|
(
∇
)
M
|
|
(
∇
)
L
1
(
)
|
u
u
x
Es ist weiterhin klar, dass die Spur
T
u
σ
σ ∈D
div,∞
(siehe Bemerkung 6.122) für jedes
existiert. Damit folgt, schreibt man
∇
u
=(
∇
u
)
L
1
,
σ
∞
≤
.
σ
=
∇
u
∂
TV
(
u
)=
−
div
σ
1,
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
,
f.-ü. in
{∇
u
=
0
}
|∇
u
|
∈
Für hinreichend glatte
u
genügt also, Übungsaufgabe 5.9 in Erinnerung gerufen,
w
div
∇
u
|∇u|
∂
TV
(
u
)
auf
{∇
u
=
0
}
der Identität
w
=
−
=
−
κ
, wobei
κ
(
x
)
für
x
∈
Ω
mit
∈
Ω
u
∇
(
)
=
{
(
)=
(
)
}
in
x
darstellt.
Der Subgradient der Totalvariation liefert damit eine Verallgemeinerung der
mittle-
ren Krümmung
der Level-Sets von
u
:
u
x
0 die mittlere Krümmung des Level-Sets
y
y
u
x
κ
=
−∂
(
)
TV
u
.
Wir werden in den folgenden Beispielen auf diese Interpretation zurückkommen.
Schauen wir uns schließlich die Anwendung des Totalvariations-Bildmodell auf die
in Unterabschnitt 6.3.2 vorgestellten Bildverarbeitungsprobleme an.
Beispiel 6.124
(Entrauschen mit TV-Strafterm)
Wie schon in Anwendungsbeispiel 6.94 möchten wir auf einem beschränkten Lipschitz-
Gebiet
R
d
ein Bild
u
0
L
q
Ω
⊂
∈
(Ω)
∈
]
∞[
,
q
1,
entrauschen, diesmal mit der Totalvaria-
tion als Bildmodell. Zu
λ
>
0 soll also eine Lösung zu
1
q
u
0
q
d
x
min
Ω
|
u
−
|
+
λ
TV
(
u
)
(6.65)
L
q
u
∈
(Ω)
gefunden werden. Zu dieser Aufgabe existiert nach Satz 6.115 eine eindeutige Lösung.
Die Euler-Lagrange-Gleichungen lassen sich analog zu Anwendungsbeispiel 6.94
herleiten, es ist lediglich nötig, den Subgradienten von
p
p
1
p
∇·
entsprechend zu er-
