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n
∇
u
in
L
2
|∇
,
R
d
=
|
(Ω
)
Das heißt lim
n→
∞
σ
und wegen der Endlichkeit des Maßes
|∇
u
|
u
auch in
L
1
|∇
,
R
d
|∇
|
|
(Ω
)
u
.
u
hat eine (volle)
Spur T
u
σ ∈
L
|∇u|
(Ω
,
R
d
σ ∈D
div,∞
)
Sagt man jetzt,
genau dann,
n
n
T
u
σ ∈
L
1
|∇
,
R
d
(
σ
)
→
|
(Ω
)
wenn für jede approximierende Folge
,so
gibt dies, wie man leicht nachrechnen kann, einen dicht definierten und abgeschlosse-
nen Operator
T
u
zwischen
wie oben gilt:
σ
u
und
L
|∇u|
(
Ω
,
R
d
mit
T
u
σ
=
σ
,
R
d
D
div,∞
)
für alle
σ
∈D
(
Ω
)
.
Im Gegensatz zum Normalenspur-Operator
T
u
muss
T
u
nicht stetig sein.
Verwendet man diesen Spurbegriff und schreibt, etwas lax,
T
u
σ
σ
=
, lässt sich
∂
TV
(
u
)
ausdrücken durch
σ
∞
≤
-fast-überall
σ
=
∇
u
∂
TV
(
u
)=
−
div
σ
1,
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
,
|
|∇
u
|
|∇
u
L
q
∗
L
∞
(Ω
,
R
d
σ ∈
)
σ ∈
(Ω)
wobei stets
, div
und die Existenz der vollen Spur von
σ
in
L
|∇
u
|
(
Ω
,
R
d
)
vorausgesetzt sei.
Wir haben nun drei äquivalente Charakterisierungen des Subgradienten der Total-
variation zur Verfügung. Um sie auseinander halten zu können, seien sie hier noch
einmal zusammengefasst. Zur Erinnerung: zu einem
u
L
q
∈
BV
(
Ω
)
∩
(
Ω
)
bezeichne
∇
u
L
|∇
u
|
(Ω
,
R
d
|
∈
)
das eindeutige Element aus der Polarzerlegung des Radon-Maßes
|∇
u
=
∇u
∇
∇
|∇u|
|∇
|
u
, also
u
u
.
1.
Dualraum-Darstellung:
(Gleichung (6.60))
σ
M
∗
≤
-f.-ü.
.
σ
=
∇
u
∂
TV
(
u
)=
−
div
σ
1,
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
,
|
|∇
u
|
|∇
u
L
q
∇
∗
⊂
−
σ ∈
(Ω)
σ · ν
=
σ ∈
Hier bedeutet
div
und
0 auf
∂
Ω
im Sinne von
dom
)
∗
mit
,
R
d
als abgeschlossene Abbildung zwischen
L
q
,
R
d
M
(
Ω
∇
(
Ω
)
und
M
(
Ω
)
.
∇
u
L
|∇u|
(Ω
,
R
d
σ
=
σ
=(
σ
)
|∇u|
∈
)
Die Gleichung
gilt im Sinne von
als Ein-
|∇
u
|
auf
L
1
|∇
,
R
d
,
R
d
|
(Ω
)
⊂
M(Ω
)
schränkung von
σ
.
u
D
div,∞
2.
-Normalenspur-Darstellung:
(Satz 6.121)
σ
∞
≤
-f.-ü.
.
σ ·
∇
u
(
)=
−
σ · ν
=
|
=
|∇
|
∂
TV
u
div
σ
1,
0 auf
∂
Ω
,
1
u
|∇
u
−
σ · ν
=
σ ∈D
div,∞
Die Eigenschaften
div
σ
und
0 sind als
nach (6.61) aufzu-
σ
·
∇
u
σ
·
∇
u
T
u
σ
fassen, während
|∇u|
=
1 als Gleichung für
|∇u|
=
mit dem stetigen
Normalenspur-Operator
T
u
L
|∇u|
(
Ω
)
:
D
div,∞
→
laut Lemma 6.119 zu interpre-
tieren ist.
3.
D
div,∞
-Spur-Darstellung:
(Bemerkung 6.122)
σ
∞
≤
-f.-ü.
.
σ
=
∇
u
∂
TV
(
u
)=
−
div
σ
1,
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
,
|
|∇
u
|
|∇
u
