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setzen. Damit ist
u
∗
eine Lösung von (6.65) genau dann, wenn es ein
σ
∗
aus
D
div,∞
gibt,
so dass die Gleichungen
⎧
⎨
u
∗
−
u
0
q
−
2
u
∗
−
u
0
σ
∗
=
|
|
(
)
−
λ
div
0
in
Ω
σ
∗
· ν
=
0
auf
∂
Ω
(6.66)
⎩
u
∗
σ
∗
=
∇
σ
∗
∞
≤
u
∗
|
|∇
1
und
-fast-überall
u
∗
|
|∇
σ
∗
und interpretiert dies als die mittlere Krümmung
der Level-Sets von
u
∗
, so kann man
u
∗
als die Lösung der Gleichung
κ
∗
=
erfüllt sind. Schreibt man
div
u
∗
−
u
0
q
−
2
u
∗
−
u
0
)
−
λκ
∗
=
|
|
(
0
auffassen.
Bemerkung 6.125
Der Totalvariations-Strafterm findet sich in Form des Entrausch-Problems mit quadra-
tischem Datenterm in der Literatur zum ersten Mal in [122], das Zielfunktional in (6.65)
wird daher nach den Autoren auch
Rudin-Osher-Fatemi-Funktional
genannt. Seitdem hat
sich TV als eines der Standard-Modelle in der Bildverarbeitung etabliert .
Mit der Gleichung (6.66) beziehungsweise dessen Interpretation als Gleichung für
die mittlere Krümmung ist es möglich, eine qualitative Vorstellung von den Lösungen
des Problems (6.65) zu bekommen. Dazu sei zunächst wieder ein Maximumprinzip her-
geleitet.
Lemma 6.126
(Maximumprinzip für
L
q
-TV-Entrauschen)
Gilt, in der Situation von Beispiel 6.124, L
u
0
≤
≤
R fast-überall in
Ω
für gewisse L
,
R
∈
R
,
so folgt für die Lösung u
∗
von
(6.65)
ebenfalls L
u
∗
≤
≤
R fast-überall in
Ω
.
u
n
C
∞
(
Ω
)
, für die
u
n
u
∗
in
L
q
u
n
Beweis.
Es sei
(
)
eine Folge in
→
(
Ω
)
sowie TV
(
)
→
u
∗
)
(
TV
konvergiert. Nach Lemma 6.106 existiert so eine Folge, ohne Einschränkung
kann man annehmen, dass sogar
u
n
u
∗
punktweise fast-überall in
(durch Anwen-
dung des Satzes von Fischer-Riesz, Satz 2.48). Setze jetzt, wie schon im Beweis des Ma-
ximumprinzips in Satz 6.95,
v
n
→
Ω
min
R
, max
)
sowie
v
∗
=
min
R
, max
L
,
u
∗
)
.
L
,
u
n
=
(
(
v
n
u
0
u
n
u
0
Analog wie dort sieht man ein, dass stets
|
−
|≤|
−
|
fast-überall in
Ω
gilt. Mit
v
n
folgt
v
n
v
∗
in
(
)
→
der punktweisen fast-überall Konvergenz und Beschränktheit von
L
q
(
Ω
)
und
v
∗
−
u
0
q
d
x
v
n
u
0
q
d
x
u
n
u
0
q
d
x
u
∗
−
u
0
q
d
x
.
Ω
|
|
=
lim
n
Ω
|
−
|
≤
lim
n
Ω
|
−
|
=
Ω
|
|
→
∞
→
∞
Es ist darüber hinaus aufgrund der Kettenregel für Sobolew-Funktionen (Lemma 6.75)
v
n
H
1,1
v
n
u
n
auf
u
n
v
n
∈
(Ω)
∇
=
∇
{∇
=
}
∇
=
mit
0
und
0 sonst. Es gilt also
v
n
v
n
u
n
u
n
(
)=
Ω
|∇
|
≤
Ω
|∇
|
=
(
)
TV
d
x
d
x
TV
.
