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Insbesondere gilt mit der alternativen Schreibweise
(6.62)
:
σ
∞
≤
-fast-überall
,
σ
·
∇
u
∂
TV
(
u
)=
−
div
σ
1,
σ
·
ν
=
0
auf
∂
Ω
und
|
=
1
|∇
u
|
|∇
u
L
q
∗
L
∞
(
Ω
,
R
d
mit
σ
∈
)
und
div
σ
∈
(
Ω
)
.
Beweis.
In Anbetracht der Aussage in Lemma 6.118 betrachten wir zunächst ein belie-
biges
σ
∈D
div,∞
mit
σ
∞
≤
1. Für dieses
σ
existiert nach Lemma 6.119 die Normalen-
mit
σ ·
∇
u
|∇
≤
spur
T
u
σ
=
σ ·
∇
u
L
|∇
u
|
(Ω)
|
∈
|
(
)
|∇
|
∈
Ω
x
1 für
u
-fast-alle
x
. Mit (6.64)
|∇
u
u
folgt
d
σ
·
∇
u
−
u
div
σ
d
x
=
1d
|∇
u
| ⇒
1
−
|∇
u
|
=
0
|∇
u
|
Ω
Ω
Ω
und da der Integrand auf der rechten Seite
|∇
u
|
-fast-überall nicht-positiv ist, die Äqui-
σ ·
∇
u
|∇
|
=
|∇
|
valenz zu
-fast-überall.
Nach Lemma 6.118 ist ein
w
1
u
u
∈
∂
TV
(
u
)
genau dann, wenn es ein
σ
∈D
div,∞
gibt mit
σ
∞
≤
1 und
−
div
σ
=
w
, so dass
−
=
|∇
|
u
div
σ
d
x
1d
u
.
Ω
Ω
σ ∈D
div,∞
Dies ist nach der Vorbetrachtung aber äquivalent zu der Existenz eines
mit
σ
·
∇
u
σ
∞
≤
-fast-überall.
Der Zusatz drückt eben bewiesene Äquivalenz unter Verwendung der Interpretatio
n
von
1,
−
div
σ
=
w
und
|∇u|
=
1
|∇
u
|
D
div,∞
in (6.62) lediglich in Mengennotation aus.
Bemerkung 6.122
(Charakterisierung von
TV mit voller Spur)
Nach einer Idee in [76] kann man eine „volle“ Spur wie folgt definieren: Für
u
∂
∈
L
q
σ ·
∇
u
|∇
(Ω)
∩
(Ω)
σ ∈D
div,∞
σ
∞
≤
|
=
|∇
|
BV
,
mit
1 und
1
u
-fast-überall gilt in
u
∇u
σ
=
|∇u|
|∇
|
einem gewissen Sinn auch
u
-fast-überall: Denn für eine approximieren-
in
L
q
∗
in
L
q
∗
n
,
R
d
n
,
R
d
n
de Folge
(
σ
)
in
D
(
Ω
)
mit
σ
→
σ
(
Ω
)
, div
σ
→
div
σ
(
Ω
)
und
n
n
L
|∇
u
|
(Ω
,
R
d
σ
∞
≤σ
∞
folgt für alle
n
, dass
∈
)
σ
ist mit Norm nicht größer als 1.
n
2
Darüber hinaus gilt wegen 1
−|
σ
|
≥
0
|∇
u
|
-fast überall
2
σ
1
−
∇
u
2
1
2
|
σ
·
∇
u
1
2
n
n
2
n
=
|
−
σ
|
+
|∇
|
|∇
u
u
1
2
+
1
2
|
σ
·
∇
u
1
2
−
1
2
|
σ
·
∇
u
n
2
n
n
2
n
≤
|
−
σ
|
+
|
=
1
−
σ
.
|∇
u
|∇
u
|
Die schwache Stetigkeit der Normalenspur impliziert nun die Konvergenz
σ
2
−
∇
u
2
·
∇
u
n
n
lim
n
d
|∇
u
|≤
lim
n
1
−
σ
d
|∇
u
|
=
0.
|∇
u
|
|∇
u
|
→
∞
→
∞
Ω
Ω
