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,
R
d
n
σ ∈D
(Ω
)
=
σ
Für
kann man
σ
wählen und die Konstruktion ergibt für alle
ϕ
∈C
∞
(
Ω
)
d
σ
·
∇
u
T
u
σ
)
ϕ
Ω
(
d
|∇
u
|
=
L
(
ϕ
)=
−
u
div
(
ϕσ
)
d
x
=
Ω
ϕ
|∇
u
|
,
|∇
u
|
Ω
folglich gilt, wieder mit der Dichtheit der Testfunktionen in
L
1
|∇
|
(Ω)
, die Identität
u
=
σ
·
∇
u
|∇u|
T
σ
in
L
|∇u|
(
Ω
)
u
.
Für die s
ch
wache Stetigkeit sei
n
(
σ
)
D
div,∞
und
σ
in
wie in der Behauptung gegeben.
ϕ
∈C
∞
(
Ω
)
n
Ist
, so folgt nach Konstruktion sowie der schwachen Konvergenz von
(
σ
)
n
und
(
div
σ
)
T
u
σ
n
n
n
lim
n
Ω
(
)
ϕ
d
|∇
u
|
=
lim
n
→
∞
−
u
(
ϕ
div
σ
+
∇
ϕ
·
σ
)
d
x
→
∞
Ω
T
u
σ
)
ϕ
=
−
(
ϕ
σ
+
∇ϕ · σ
)
=
Ω
(
|∇
|
u
div
d
x
d
u
.
Ω
∗
Damit konvergiert, erneut wegen der Dichtheit der Testfunktionen,
T
u
σ
n
T
u
σ
i
n
L
|∇u|
(
Ω
)
.
Bemerkung 6.120
(
T
u
als Normalenspur-Operator)
Die Abbildung
T
u
,
L
|∇u|
(Ω))
, für die
T
u
σ
=
L
(
D
div,∞
ist das eindeutige Element in
σ
·
∇
u
|∇u|
,
R
d
gilt und die die in Lemma 6.119 beschriebene schwa-
che Stetigkeit aufweist. Dies folgt aus der in der Definition von
für alle
σ
∈D
(
Ω
)
D
div,∞
spezifizierten
−
∇
u
|∇
Approximationseigenschaft. Fasst man
als äußeres Normalenfeld bezüglich der
Level-Sets von
u
auf, kann man
T
u
auch als den
Normalenspur-Operator
interpretieren.
Wir notieren daher
u
|
σ
·
∇
u
|∇
T
u
σ
. Insbesondere gilt infolge der
schwachen Stetigkeit die folgende Verallgemeinerung des
Gaußschen-Integralsatzes
:
|
=
für
σ
∈D
div,∞
u
d
σ ·
∇
u
∈
(Ω)
σ ∈D
div,∞
−
=
|∇
|
u
BV
,
:
u
div
σ
d
x
u
.
(6.64)
|∇
|
u
Ω
Ω
Die Aussagen der Lemmata 6.118 und 6.119 sind die entscheidenden Zutaten für die
gewünschte Charakterisierung des Subdifferentials der Totalvariation.
Satz 6.121
(Charakterisierung von
∂
TV mit Normalenspur)
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, q
Es sei
Ω
⊂
∈
]
1,
∞
[
,q
≤
d
/
(
d
−
1
)
und u
∈
BV
(
Ω
)
.
L
q
∗
Dann ist für w
∈
(
Ω
)
äquivalent:
⎧
⎨
σ
∞
≤
1
−
σ
=
div
w
w
∈ ∂
(
)
⇐⇒
σ ∈D
div,∞
TV
u
es gibt ein
mit
⎩
σ ·
∇
u
|∇
|
=
1
u
σ ·
∇
u
|∇
|
=
|∇
|
wobei mit
1
die
u
-fast-überall Identität für die Normalenspur von
σ
gemeint ist.
u
