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der vektorwertigen endlichen Radon-Maße vermeidet und stattdessen reguläre Funk-
tionen verwendet.
Kernstück dafür ist der folgende normierte Raum, der als Verallgemeinerung der
in (6.37) definierten Mengen für
p
=
1 gesehen werden kann:
σ ∈
∃
L
q
∗
L
∞
(
Ω
,
R
d
R
d
n
,
R
d
D
div,∞
=
)
div
σ
∈
(
)
und Folge
(
σ
)
in
D
(
Ω
)
0
,
(6.61)
n
n
mit
lim
n
→
∞
σ
−
σ
q
∗
+
div
(
σ
−
σ
)
q
∗
=
σ
div,∞
=
σ
∞
+
div
σ
q
∗
.
Auch für diesen Raum geben wir die Abhängigkeit von
q
nicht explizit an. In einem
gewissen Sinn gilt für Elemente in
, vergleiche
Bemerkung 6.89. Untersuchen wir diesen Raum nun genauer und zeigen zuerst die
Vollständigkeit.
D
div,∞
die Eigenschaft
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
Lemma 6.116
Es sei
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, q
Ω
⊂
∈
]
∞[
D
div,∞
1,
. Dann ist
nach der Defini-
tion in
(6.61)
ein Banach-Raum.
n
n
Beweis.
Für eine Cauchy-Folge
(
σ
)
in
D
div,∞
folgen sofort die Konvergenzen
σ
→
σ
w
in
L
q
∗
in
L
∞
(
Ω
,
R
d
n
)
sowie div
σ
→
(
Ω
)
. Nach Abgeschlossenheit der schwachen
Divergenz ist
w
, es bleibt also die Approximationseigenschaft zu zeigen. Dazu
wähle für jedes
n
eine Folge
=
div
σ
n
in dem in (6.61) angegebenen
Sinn annähert. Für jedes
n
kann man jetzt stets ein
k
n
finden, dass gilt:
n
,
k
,
R
d
(
σ
)
in
D
(
Ω
)
, die
σ
1
n
.
n
,
k
n
n
n
,
k
n
n
σ
− σ
q
∗
+
(
σ
− σ
)
q
∗
≤
div
n
−
σ
q
∗
≤|
Ω
|
(
q−
1)/
q
n
Da
Ω
beschränkt ist, gilt weiterhin
σ
σ
−
σ
∞
. Wählt man also
zu
ε
>
0 beliebig die natürliche Zahl
n
0
so, dass für alle
n
≥
n
0
die Ungleichungen
q
−
σ
∞
≤
|
Ω
|
1
n
≤
3
,
−
ε
−
σ
)
q
∗
≤
3
,
q
1
n
n
σ
,
div
(
σ
3
erfüllt sind, folgt für diese
n
:
n
,
k
n
n
,
k
n
n
,
k
n
n
n
,
k
n
n
σ
−
σ
q
∗
+
div
(
σ
−
σ
)
q
∗
≤
σ
−
σ
q
∗
+
div
(
σ
−
σ
)
q
∗
−
q
1
n
n
+
|
Ω
|
σ
−
σ
∞
+
div
(
σ
−
σ
)
q
∗
q
q
≤
3
+
|
Ω
|
|
Ω
|
ε
+
3
=
ε
q
−
1
q
−
1
,
q
3
,
R
d
D
(Ω
)
wir haben also eine Folge in
mit der gewünschten Approximationseigenscha
ft
gefunden, damit ist
σ
∈D
div,∞
.
