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(
σ
)
|μ|
∞
≤
≤
−
(
σ
)
|μ|
· σ
μ
|μ|
Da
1, gilt 0
1
-fast-überall, daher ist letzteres äquivalent
zu
(
σ
)
|μ|
·
σ
μ
=
1
|
μ
|
-fast-überall und folglich zu
(
σ
)
|μ|
=
σ
μ
|
μ
|
-fast-überall (mit der
Cauchy-Schwarz-Ungleichung).
Fassen wir das Ergebnis zu einer kompakten Form zusammen: Da aus dem Kontext
klar ist, was gemeint ist, schreiben wir einerseits
(
σ
)
|
μ
|
σ
anstatt
. Andererseits notieren
σ
μ
=
μ
wir
, denn
σ
μ
ist die
|
μ
|
-fast-überall eindeutig bestimmte Dichte von
μ
bezüglich
|
μ
|
|
μ
|
. Eingesetzt ergibt sich so die Charakterisierung
)
∗
σ
M
∗
≤
-fast-überall
.
σ
=
μ
,
R
d
∂
·
M
(
μ
)=
σ
∈
M
(
Ω
1,
|
μ
|
|
μ
|
(6.59)
∇
∗
als abgeschlossene Abbil-
Diskutieren wir als nächstes den adjungierten Operator
)
∗
und
L
q
∗
,
R
d
∇
∗
dicht
dung zwischen
M
(
Ω
(
Ω
)
. Es sei bemerkt, dass nicht klar ist, ob
,
R
d
definiert ist (
M
(
Ω
)
ist nicht reflexiv). Testet man mit
u
∈D
(
Ω
)
, so ergibt sich für
∇
∗
:
σ
∈
dom
Ω
(
∇
∗
σ
)
u
d
x
=
σ
,
∇
u
M
∗
×
M
,
∇
∗
σ
=
−
σ ∈C
∞
(Ω
,
R
d
)
im Distr
ib
utionensinn ist also
div
σ
. Weiterhin gilt für
und alle
∈C
∞
(
Ω
)
u
−
d
1
Ω
σ
·∇
u
d
x
=
u
σ
·
ν
d
H
−
u
div
σ
d
x
,
∂
Ω
Ω
die rechte Seite kann nur durch die
L
q
-Norm abgeschätzt werden, wenn
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
μ →
Ω
σ
,
R
d
eine stetige Linearform
¯
M(Ω
)
gilt. Ist dies der Fall, so
in
duziert
d
μ
σ
auf
,
∈C
∞
(
Ω
)
für die für alle
u
gilt
|
¯
∇
M
∗
×
M
|≤
σ
q
∗
q
.
σ
,
u
div
u
Da die Testfunktionen
u
eine dichte Teilmenge von
L
q
(Ω)
bilden (siehe Satz 6.74), muss
∇
∗
nur die Elemente mit
verschwindender Normalenspur am Rand. Da wir später einen anderen Zugang benut-
zen, werden wir nicht versuchen, Normalenspuren für gewisse Elemente in
∇
∗
sein. In einem gewissen Sinne enthält also dom
σ
∈
¯
dom
)
∗
zu erklären, sondern halten für den Augenblick die etwas ungenaue Charakterisierung
,
R
d
M
(
Ω
)
∗
div
L
q
∗
∇
∗
=
−
∇
∗
=
{
σ
∈
M
(
Ω
,
R
d
div,
dom
σ
∈
(
Ω
)
,
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
}
fest. Die Ergebnisse zusammengetragen erlauben folgende Beschreibung des Subgradi-
enten der Totalvariation:
σ
M
∗
≤
-fast-überall
.
σ
=
∇
u
∂
TV
(
u
)=
−
div
σ
1,
σ
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
,
|
|∇
u
|
|∇
u
(6.60)
Leider sind einige Objekte in dieser Darstellung nicht besonders schön zu handha-
ben. Der Raum
)
∗
hat, wie schon erwähnt, keine einfache Charakterisierung
als Funktionenraum (es gibt Ansätze, die die Bidualräume von
,
R
d
M(Ω
mit kompakten
Hausdorff-Räumen
K
beschreiben [81]). Zum anderen würde man gerne den Diver-
genzoperator auf
C
(
K
)
)
∗
besser verstehen, insbesondere wann man von einer ver-
schwindenden Normalenspur am Rand sprechen kann. Wir stellen deswegen im Fol-
genden einen anderen Zugang zur Charakterisierung von
,
R
d
M(Ω
∂
TV vor, der den Dualraum