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( σ ) |μ|
( σ ) |μ| · σ μ |μ|
Da
1, gilt 0
1
-fast-überall, daher ist letzteres äquivalent
zu
( σ ) |μ| · σ μ =
1
| μ |
-fast-überall und folglich zu
( σ ) |μ| = σ μ | μ |
-fast-überall (mit der
Cauchy-Schwarz-Ungleichung).
Fassen wir das Ergebnis zu einer kompakten Form zusammen: Da aus dem Kontext
klar ist, was gemeint ist, schreiben wir einerseits
( σ ) | μ |
σ
anstatt
. Andererseits notieren
σ μ = μ
wir
, denn
σ μ
ist die
| μ |
-fast-überall eindeutig bestimmte Dichte von
μ
bezüglich
| μ |
| μ |
. Eingesetzt ergibt sich so die Charakterisierung
) σ M
-fast-überall .
σ = μ
, R d
· M ( μ )=
σ M ( Ω
1,
| μ | | μ |
(6.59)
als abgeschlossene Abbil-
Diskutieren wir als nächstes den adjungierten Operator
) und L q
, R d
dicht
dung zwischen
M ( Ω
( Ω )
. Es sei bemerkt, dass nicht klar ist, ob
, R d
definiert ist (
M ( Ω
)
ist nicht reflexiv). Testet man mit u
∈D ( Ω )
, so ergibt sich für
:
σ
dom
Ω ( σ )
u d x
= σ
,
u
M × M ,
σ =
σ ∈C
, R d
)
im Distr ib utionensinn ist also
div
σ
. Weiterhin gilt für
und alle
∈C ( Ω )
u
d
1
Ω σ ·∇
u d x
=
u
σ · ν
d
H
u div
σ
d x ,
Ω
Ω
die rechte Seite kann nur durch die L q -Norm abgeschätzt werden, wenn
σ · ν =
0 auf
Ω
μ → Ω σ
, R d
eine stetige Linearform ¯
M(Ω
)
gilt. Ist dies der Fall, so in duziert
d
μ
σ
auf
,
∈C ( Ω )
für die für alle u
gilt
|
¯
M × M |≤
σ q
q .
σ
,
u
div
u
Da die Testfunktionen u eine dichte Teilmenge von L q
(Ω)
bilden (siehe Satz 6.74), muss
nur die Elemente mit
verschwindender Normalenspur am Rand. Da wir später einen anderen Zugang benut-
zen, werden wir nicht versuchen, Normalenspuren für gewisse Elemente in
sein. In einem gewissen Sinne enthält also dom
σ
¯
dom
)
zu erklären, sondern halten für den Augenblick die etwas ungenaue Charakterisierung
, R d
M ( Ω
) div
L q
=
= { σ M ( Ω
, R d
div,
dom
σ
( Ω )
,
σ · ν =
0 auf
Ω }
fest. Die Ergebnisse zusammengetragen erlauben folgende Beschreibung des Subgradi-
enten der Totalvariation:
σ M
-fast-überall .
σ =
u
TV
(
u
)=
div
σ
1,
σ · ν =
0 auf
Ω
,
| |∇
u
|
|∇
u
(6.60)
Leider sind einige Objekte in dieser Darstellung nicht besonders schön zu handha-
ben. Der Raum
) hat, wie schon erwähnt, keine einfache Charakterisierung
als Funktionenraum (es gibt Ansätze, die die Bidualräume von
, R d
M(Ω
mit kompakten
Hausdorff-Räumen K beschreiben [81]). Zum anderen würde man gerne den Diver-
genzoperator auf
C (
K
)
) besser verstehen, insbesondere wann man von einer ver-
schwindenden Normalenspur am Rand sprechen kann. Wir stellen deswegen im Fol-
genden einen anderen Zugang zur Charakterisierung von
, R d
M(Ω
TV vor, der den Dualraum
 
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