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Bemerkung 6.117
Die Konstruktion (6.61) unterscheidet sich von der Menge
1
D
div
laut (6.37) mit
p
=
q
nur
dadurch, dass sich deren Elemente zusätzlich in
L
∞
(
Ω
,
R
d
)
befinden. In Verbindung mit
Satz 6.88 und Bemerkung 6.89 lässt sich demnach sagen:
∇
∗
∩
L
∞
(
Ω
,
R
d
D
div,∞
=
dom
)
div
L
q
∗
L
∞
(Ω
,
R
d
=
{σ ∈
)
σ ∈
(Ω)
σ · ν
=
∂
Ω
}
,
0 auf
(6.62)
wobei der Gradient als abgeschlossene Abbildung zwischen
L
q
und
L
q
,
R
d
(Ω)
(Ω
)
mit Definitionsbereich
H
1,
q
(
Ω
)
aufgefasst wird. Insbesondere zeigt der Beweis von
n
=
M
n
σ
n
,
R
d
σ ∈D
div,∞
(
σ
)
D
(Ω
)
Satz 6.88, dass für
die via
σ
definierte Folge
in
n
kann man nun die
L
∞
-Norm ab-
im Sinne von (6.61) approximierend ist. Für diese
σ
n
)
|
=
|
(
M
n
σ
)(
|σ
(
)
|≤σ
∞
für
x
∈
Ω
schätzen:
x
x
, vergleiche auch (6.55) im Beweis
von Lemma 6.106. Wir können also auch schreiben:
∃
L
q
∗
L
∞
(Ω
,
R
d
R
d
n
,
R
d
D
div,∞
=
σ ∈
)
σ ∈
(
)
(
σ
)
D
(Ω
)
div
,
in
mit
0
.
n
n
n
σ
∞
≤σ
∞
,
→
∞
σ
− σ
q
∗
+
(
σ
− σ
)
q
∗
=
lim
n
div
eignet sich gut zur Beschreibung des Subgradienten von
TV, wie folgendes Lemma zeigt.
Der Banach-Raum
D
div,∞
Lemma 6.118
(
D
div,∞
-Vektorfelder und
∂
TV)
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, q
L
q
Ω
⊂
∈
]
∞[
∈
(Ω)
∩
(Ω)
Für
1,
und u
BV
gilt: Ein
L
q
∗
w
∈
(
Ω
)
ist genau dann in
∂
TV
(
u
)
, falls ein
σ
∈D
div,∞
existiert mit
σ
∞
≤
−
σ
=
−
=
(
)
1,
div
w und
u
div
σ
d
x
TV
u
.
Ω
Beweis.
Zunächst sei gezeigt, dass
w
∈
∂
TV
(
u
)
genau dann, wenn
L
q
vw
d
x
≤
TV
(
v
)
für alle
v
∈
BV
(
Ω
)
∩
(
Ω
)
und
uw
d
x
=
TV
(
.
(6.63)
u
)
Ω
Ω
Wir benutzen ähnliche Argumente wie schon in Beispiel 6.49. Es sei
w
∈
∂
TV
(
u
)
. Nach
L
q
∈
(Ω)
∩
(Ω)
λ >
der Subgradientenungleichung gilt für alle
v
BV
und
0 nach Einset-
zen von
λ
v
.
≤ λ
(
)+
−
(
)
λ
vw
d
x
TV
v
uw
d
x
TV
u
Ω
Ω
Da
Ω
−
(
)
uw
TV
u
nicht von
λ
abhängt, folgt nach Dividieren durch
λ
und dem Grenz-
die Ungleichung
Ω
übergang
λ
→
∞
vw
d
x
≤
TV
(
v
)
. Dies zeigt die erste behauptete
Eigenschaft, die insbesondere
Ω
≤
(
)
=
uw
d
x
TV
u
impliziert. Einsetzen von
v
0indie
)
≤
Ω
Subgradientenungleichung liefert andererseits TV
(
u
uw
d
x
, also muss Gleichheit
herrschen.
Für die entgegengesetzte Richtung sei angenommen
w
erfülle
Ω
L
q
∗
∈
(
Ω
)
vw
d
x
≤
und
Ω
L
q
(
)
∈
(Ω)
∩
(Ω)
=
(
)
∈
(Ω)
∩
TV
v
für alle
v
BV
uw
d
x
TV
u
. Für beliebiges
v
BV
L
q
(
Ω
)
gilt
(
)+
(
−
)
=
≤
(
)
TV
u
w
v
u
d
x
vw
d
x
TV
v
,
Ω
Ω
