Image Processing Reference
In-Depth Information
u
n
k
=
=
0 gilt, muss
u
0 sein. Dies ergibt mit der Konvergenz lim
k→
∞
0 einen Wider-
u
n
spruch zu
1
=
1 für alle
n
, damit ist die Ungleichung für
q
=
1 bewiesen.
<
≤
(
−
)
Für 1
q
d
/
d
1
folgt die Aussage schließlich mit Punkt 1:
C
M
≤
q
≤
1
+
∇
∇
M
P
1
u
P
1
u
u
C
u
.
Korollar 6.109
In der Situation von Lemma 6.108,
ϕ
:
[
0,
∞
[
→
R
koerziv und
1
≤
q
≤
d
/
(
d
−
1
)
folgt
∞
)=
ϕ
TV
)
in dem Sinne von
Ψ(
(
q
→
∞
⇒
Ψ(
)
→
∞
sofort die Koerzivität von
u
u
P
1
u
u
.
L
q
Denn für alle u
∈
(
Ω
)
gilt
P
1
u
q
≤
C
TV
(
u
)
für ein geeignetes C
>
0
, damit ergibt sich
die Aussage aus der Koerzivität von
ϕ
.
q
→
∞
⇒
Ist
ϕ
stark koerziv, kann man analog die „starke“ Koerzivität, nämlich
P
1
u
Ψ
(
u
)
/
P
1
u
q
→
∞
folgern.
Die Theorie der Funktionen mit beschränkter Totalvariation ist ein umfangreiches
Gebiet, welches nicht nur in der Bildverarbeitung, sondern auch bei Problemen mit
sogenannten „freien Unstetigkeiten“ (englisch: „free discontinuity problems“) zur An-
wendung kommt (siehe zum Beispiel [7]). Sie ist eng verknüpft mit der geometrischen
Maßtheorie (dessen Standardwerk [61] darstellt). Der Vollständigkeit halber zitieren wir
noch drei Resultate aus dieser Theorie, die ohne die Einführung weiterer Begriffe ge-
nannt werden können.
(Ω)
Satz 6.110
(Spuren von BV
-Funktionen)
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet existiert eine eindeuti
ge
lineare und stetige Ab-
bildung T
:BV
Zu
Ω
⊂
L
1
H
(Ω)
→
(
∂
Ω)
∈
(Ω)
∩C
(Ω)
=
|
∂
Ω
, so dass für alle u
BV
gilt: Tu
u
.
d
−
1
Sie ist darüber hinaus stetig bezüglich strikter Konvergenz, also
u
n
uinL
1
→
(Ω)
Tu
n
Tu in L
1
H
⇒
→
(
∂
Ω
)
.
d
−
1
u
n
∇
M
→∇
u
M
Der Spurbegriff ermöglicht das Formulieren und Beweisen einer Eigenschaft, in der
sich BV
deutlich von den
H
1,
p
(Ω)
(Ω)
-Räumen unterscheidet.
Satz 6.111
(Nullfortsetzung von BV-Funktionen)
Für
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet ist die Nullfortsetzung E
:BV
R
d
Ω
⊂
(Ω)
→
(
)
BV
stetig und es gilt:
−
d
1
∇
(
)=
∇
− ν
∂
Ω
Eu
u
T
u
H
wobei
ν
die äußere Normale und T
u
die in Satz 6.110 definierte Spur auf
∂
Ω
ist.
Korollar 6.112
Ist
R
d
Ω
⊂
Ω
Ω
⊂
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und
ein Lipschitz-Teilgebiet mit
(
Ω
)
Ω
⊂⊂
Ω
, so gilt für u
1
,u
2
(
Ω
\
Ω
)
u
1
u
2
∈
BV
∈
BV
und u
=
+
(mit impliziter
∈
(Ω)
Nullfortsetzung) stets u
BV
sowie
−
∂
Ω
.
u
1
u
2
u
2
u
1
d
1
∇
=
∇
(
)
|
Ω
+
∇
(
)
|
Ω
\
Ω
+(
|
∂
(Ω
\
Ω
)
−
|
∂
Ω
)
ν
H
u
