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Di
e Sp
ur von u
1
auf
∂
Ω
wird dabei bezüglich
Ω
, die Spur von u
2
auf
∂
(Ω
\
Ω
)
bezüglich
Ω
\
Ω
genommen.
Das folgende Resultat setzt Funktionen mit beschränkter Totalvariation mit dem
Umfang der Sub-Level-Sets in Verbindung.
Satz 6.113
(Koflächenformel)
Ist
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und u
Ω
⊂
∈
BV
(
Ω
)
, so gilt:
Per
∈
Ω
u
}
d
t
∇
M
=
|∇
|
=
{
(
)
≤
=
(
χ
{u≤t}
)
u
1d
u
x
x
t
TV
d
t
.
Ω
R
R
Die Totalvariation ist also das Integral über den Umfang aller Sub-Level-Sets.
Die
Beweise
der letzten drei Sätze sind zum Beispiel in [7] oder [60] zu finden.
Mit Hilfe der Koflächenformel kann man sehen, dass für
u
∈
(Ω)
→
BV
und
h
:
R
R
h
∞
<
∞
streng monoton steigend, stetig differenzierbar mit
auch die umskalierten
◦
∈
(Ω)
(
◦
)
Versionen
h
u
BV
enthalten sind. Der Wert der TV
h
u
hängt dabei nur von
den Sub-Level-Sets von
u
ab, siehe Übungsaufgabe 6.34.
Dem Einsatz von TV als Bildmodell für Variationsprobleme steht nun nichts mehr
im Wege.
Satz 6.114
(Existenz von Lösungen bei Totalvariation-Strafterm)
Es sei
R
d
Ω
⊂
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, q
∈
]
1,
∞
[
mit q
≤
d
/
(
d
−
1
)
und
Φ
:
L
q
, konvex, unterhalbstetig auf L
q
1
, das
(
Ω
)
→
R
eigentlich auf
BV
(
Ω
)
(
Ω
)
und koerziv in
Π
∞
heißt
u
d
x
q
beschränkt und
u
d
x
→
∞
⇒
Φ
(
1
|
Ω
|
u
−
u
)
→
∞
.
Ω
Ω
Weiterhin sei
ϕ
:
[
0,
∞
[
→
R
eigentlich, konvex, unterhalbstetig, monoton steigend und stark
∞
0
eine Lösung u
∗
des Minimierungsproblems
λ >
koerziv. Dann existiert für jedes
)+
λϕ
TV
)
.
min
(Ω)
Φ
(
u
(
u
L
q
u
∈
Die Aussage bleibt wahr, wenn
Φ
von unten beschränkt und
ϕ
nur koerziv statt stark koerziv
ist.
Beweis.
Die Argumentation ist vollkommen analog zu dem Beweis von Satz 6.84, die
entsprechenden Eigenschaften für das TV-Funktional ergeben sich aus den Lemm
a-
ta 6.105 und 6.108 sowie Korollar 6.109.
In Analogie zu Satz 6.86 ergibt sich weiterhin (siehe auch [33, 1]):
