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Die zeigt die Einbettungseigenschaft.
Zum Nachweis der Kompaktheit der Einbettung für
q
<
d
/
(
d
−
1
)
schränken wir
u
n
=
(
)
(Ω)
uns zunäch
st
auf
q
1 ein. Für eine beschränkte Folge
in BV
wähle, für jedes
n
sowie
∇
M
≤
n
,
v
n
∈C
∞
(
Ω
)
v
n
u
n
1
v
n
u
n
1
derart, dass
−
1
≤
M
−∇
n
. Damit ist
v
n
beschränkt in
H
1,1
, es existiert, da
H
1,1
L
1
(
)
(
Ω
)
(
Ω
)
→
(
Ω
)
kompakt ist, eine Teilfolge
v
n
k
v
n
k
L
1
u
n
k
(
)
mit lim
k→
∞
=
v
für ein
v
∈
(
Ω
)
. Für die entsprechende Teilfolge
(
)
gilt
u
n
k
kompakt in
L
1
nach Konstruktion lim
k
→
∞
=
v
, also ist BV
(
Ω
)
(
Ω
)
.
Für den Fall 1
<
q
<
d
/
(
d
−
1
)
sei die Youngsche Zahlenungleichung
b
p
∗
p
∗
a
p
p
+
≤
≥
∈
]
∞[
ab
,
a
,
b
0,
p
1,
in Erinnerung gerufen. Wählen wir
r
∈
]
q
,
d
/
(
d
−
1
)[
und
p
=(
r
−
1
)
/
(
q
−
1
)
, so folgt
≥
δ >
für alle
a
0 und
0:
=
δ
1
δ
−
1
p
p
a
,
−
−
q
1
r
q
1
p
a
r
(
q
−
1
)
1
p
a
r
−
q
1
δ
−
a
q
a
r
≤
+
1
δ
−
−
r
r
r
−
r
−
denn
p
∗
=(
r
p
1
r
−
1
)
/
(
r
−
q
)
und
+
p
∗
=
q
. Zusammengefasst gibt es zu jedem
δ
>
0
ein
C
δ
>
0, so dass für alle
a
≥
0 gilt:
a
q
a
r
≤ δ
+
C
a
.
(6.56)
δ
u
n
, also auch beschränkt in
L
r
Sei nun erneut
(
)
beschränkt in BV
(
Ω
)
(
Ω
)
mit Norm-
>
schranke
L
0. Wir können nach Obigen weiterhin ohne Einschränkung annehmen,
q
2
L
r
und
C
dass
u
n
u
in
L
1
ε
→
(
Ω
)
konvergiert. Zu gegebenen
ε
>
0 wähle 0
<
δ
<
δ
>
0
u
n
eine Cauchy-Folge in
L
1
(
)
(Ω)
so, dass (6.56) gilt. Da
ist, existiert ein
n
0
mit
q
2
C
≤
ε
u
n
1
u
n
2
Ω
|
−
|
d
x
.
δ
≥
für alle
n
1
,
n
2
n
0
. Zusammen folgt für diese
n
1
und
n
2
unter Ausnutzung von (6.56)
u
n
1
u
n
2
q
d
x
u
n
1
u
n
2
r
d
x
u
n
1
u
n
2
Ω
|
−
|
≤
δ
Ω
|
−
|
+
C
Ω
|
−
|
d
x
δ
q
2
L
r
L
r
q
2
C
≤
ε
ε
q
,
+
C
δ
=
ε
δ
u
n
eine Cauchy-Folge in
L
q
(
)
(Ω)
folglich ist
und damit konvergent. Wegen der stetigen
Einbettung
L
q
L
1
(
Ω
)
→
(
Ω
)
muss der Grenzwert mit
u
übereinstimmen.
=
Zu 2.: Den Beweis für
q
1 beginnen wir mit einer Vorbemerkung: Gilt für ein
H
1,1
u
und nach Lemma 6.79
folgt, dass
u
konstant ist. Die eigentliche Argumentation kann man jetzt analog zu Lem-
ma 6.81 führen: Wäre die Ungleichung falsch, existiert eine Folge
∈
BV
(
Ω
)
die Identität
∇
u
=
0, so ist offensichtlich
u
∈
(
Ω
)
u
n
(
)
in BV
(
Ω
)
mit
Ω
u
n
d
x
u
n
u
n
1
u
n
=
0,
1
=
1 und
∇
M
≤
n
. Insbesondere gilt lim
n
→
∞
∇
=
0. Aus der
L
1
L
1
(Ω)
→
(Ω)
∈
(Ω)
kompakten Einbettung BV
folgt die Existenz eines
u
und einer
u
n
k
u
n
k
Teilfolge
(
)
mit lim
k→
∞
=
u
. Der Gradient ist eine abgeschlossene Abbildung, da-
. Da aber auch
Ω
lim
n→
∞
Ω
u
n
d
x
∇
=
=
=
her gilt
u
0, folglich ist
u
konstant in
Ω
u
d
x
