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Damit folgt
u n div w d x
( M n w
=
+
)
Ω ( N n u
)
u div w d x
u div
w
d x
w d x
Ω
Ω
Ω
M 3 3 3
≥∇
u
insbesondere gilt, mit der Supremumseigenschaft (6.52),
u n
Ω |∇
|
d x
≥∇
u
M ε
.
0 beliebig war, ist die Konvergenz lim n→ Ω |∇
u n
Da
ε >
|
d x
=
u
M
gezeigt.
Bemerkung 6.107
Der S atz liefert insbesondere zu jedem u
u n
BV
( Ω )
die Existenz einer Folge
(
)
in
C ( Ω )
mit u n
u in L 1
u n
, R d
( Ω )
und
u in
M ( Ω
)
. Mit Lemma 6.103 impliziert
letzteres lediglich die schwächere Eigenschaft
u n
u
M
lim inf
n
Ω |∇
|
d x .
u n
wird daher die Konvergenz u n
Für eine Folge
(
)
in BV
( Ω )
und u
BV
( Ω )
u in
L 1
u n
( Ω )
und
M →∇
u
M
für n
strikte Konvergenz gegen u genannt.
Die in Lemma 6.106 bewiesene Approximationseigenschaft erlaubt den Transfer ei-
niger Eigenschaften von H 1,1
(Ω)
(Ω)
auf BV
.
Lemma 6.108
Für
R d beschränktes Lipschitz-Gebiet und 1
Ω
(
)
(
)=∞
q
d /
d
1
mit d /
d
1
für
d
=
1 . Dann gilt:
L q
1.
Es gibt eine stetige Einbettung BV
( Ω )
( Ω )
, im Falle q
<
d /
(
d
1
)
ist sie sogar
kompakt.
2.
Es existiert ein C
>
0 , so dass für jedes u
BV
( Ω )
die folgende Poincaré-Wirtinger-
Ungleichung erfüllt ist:
u d x q
1
| Ω |
q =
M
P 1 u
u
C
u
.
Ω
u n
(Ω)
(
)
Beweis. Z u 1.: Zu jedem u
BV
wählen wir mittels Lemma 6.106 eine Folge
C ( Ω )
, die strikt gegen u konvergiert. Insbesondere ist jedes u n
H 1,1
in
( Ω )
.Da
H 1,1
L q
( Ω )
( Ω )
(siehe Satz 6.76 und Bemerkung 6.77), gilt, für ein C
>
0 und alle
H 1,1
. Nun ist die L q -Norm unterhalbs-
v
( Ω )
,
v
q
C
v
1,1 =
C
(
v
1 +
v
M )
tetig in L 1
( Ω )
, betrachtet man sie zum Beispiel als Verkettung
· q
A wobei A die
Identität mit Definitionsbereich L q
L 1
(Ω)
(Ω)
sei (siehe Beispiel 6.29 für die Argu-
mentation für q
>
1). Daher folgt mit obigen C und strikter Konvergenz
u n
u n
u n
u
q
lim inf
n
q
C
(
lim inf
n
1 +
lim inf
n
M )=
C
(
u
1 +
u
M )
.
 
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