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Damit folgt
u
n
div
w
d
x
(
M
n
w
=
+
−
)
−
Ω
(
N
n
u
)
u
div
w
d
x
u
div
w
d
x
w
d
x
Ω
Ω
Ω
M
−
3
−
3
−
3
≥∇
u
insbesondere gilt, mit der Supremumseigenschaft (6.52),
u
n
Ω
|∇
|
d
x
≥∇
u
M
−
ε
.
0 beliebig war, ist die Konvergenz lim
n→
∞
Ω
|∇
u
n
Da
ε
>
|
d
x
=
∇
u
M
gezeigt.
Bemerkung 6.107
Der
S
atz liefert insbesondere zu jedem
u
u
n
∈
BV
(
Ω
)
die Existenz einer Folge
(
)
in
∗
∇
C
∞
(
Ω
)
mit
u
n
u
in
L
1
u
n
,
R
d
→
(
Ω
)
und
∇
u
in
M
(
Ω
)
. Mit Lemma 6.103 impliziert
letzteres lediglich die schwächere Eigenschaft
u
n
∇
u
M
≤
lim inf
n
Ω
|∇
|
d
x
.
→
∞
u
n
wird daher die Konvergenz
u
n
Für eine Folge
(
)
in BV
(
Ω
)
und
u
∈
BV
(
Ω
)
→
u
in
L
1
u
n
(
Ω
)
und
∇
M
→∇
u
M
für
n
→
∞
strikte Konvergenz
gegen
u
genannt.
Die in Lemma 6.106 bewiesene Approximationseigenschaft erlaubt den Transfer ei-
niger Eigenschaften von
H
1,1
(Ω)
(Ω)
auf BV
.
Lemma 6.108
Für
R
d
beschränktes Lipschitz-Gebiet und
1
Ω
⊂
≤
≤
(
−
)
(
−
)=∞
q
d
/
d
1
mit d
/
d
1
für
d
=
1
. Dann gilt:
L
q
1.
Es gibt eine stetige Einbettung
BV
(
Ω
)
→
(
Ω
)
, im Falle q
<
d
/
(
d
−
1
)
ist sie sogar
kompakt.
2.
Es existiert ein C
>
0
, so dass für jedes u
∈
BV
(
Ω
)
die folgende Poincaré-Wirtinger-
Ungleichung erfüllt ist:
u
d
x
q
≤
1
|
Ω
|
q
=
−
∇
M
P
1
u
u
C
u
.
Ω
u
n
∈
(Ω)
(
)
Beweis.
Z
u 1.: Zu jedem
u
BV
wählen wir mittels Lemma 6.106 eine Folge
C
∞
(
Ω
)
, die strikt gegen
u
konvergiert. Insbesondere ist jedes
u
n
H
1,1
in
∈
(
Ω
)
.Da
H
1,1
L
q
(
Ω
)
→
(
Ω
)
(siehe Satz 6.76 und Bemerkung 6.77), gilt, für ein
C
>
0 und alle
H
1,1
. Nun ist die
L
q
-Norm unterhalbs-
v
∈
(
Ω
)
,
v
q
≤
C
v
1,1
=
C
(
v
1
+
∇
v
M
)
tetig in
L
1
(
Ω
)
, betrachtet man sie zum Beispiel als Verkettung
·
q
◦
A
wobei
A
die
Identität mit Definitionsbereich
L
q
L
1
(Ω)
⊂
(Ω)
sei (siehe Beispiel 6.29 für die Argu-
mentation für
q
>
1). Daher folgt mit obigen
C
und strikter Konvergenz
u
n
u
n
u
n
u
q
≤
lim inf
n
→
∞
q
≤
C
(
lim inf
n
→
∞
1
+
lim inf
n
→
∞
∇
M
)=
C
(
u
1
+
∇
u
M
)
.