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2.1.2 Banach-Räume und Dualität

Neben dem Konzept des normierten Raumes ist ein weiteres Ausschlag gebend für eine
Reihe grundlegender Resultate: die Vollständigkeit , also die Existenz von Grenzwerten
bei Cauchy-Folgen.

Definition 2.12 (Banach-Raum)
Ein normierter Raum ( · X ) X , ist vollständig , falls jede Cauchy-Folge in X konvergiert,

es also für jede Folge

(

x n

)

in X mit der Eigenschaft

für alle ε > 0 existiert ein n 0

∈ N so dass für alle n , m ≥

n 0 gilt: x n

−

x m

X < ε

,

∈ → → ∞

ein x .

Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt.

X gibt mit x n x für n

Beispiel 2.13 (Banach-Räume)
Der Körper K N ,

(

K ,

|·| )

ist ein Banach-Raum und aufgrund dessen auch alle

( |·| p )

aus

Beispiel 2.2. Weiterhin ergibt

L ( ) ( · Y )

X , Y ein Banach-Raum immer dann, wenn Y ,

einer ist.

In Banach-Räumen gelten einige fundamentale Aussagen, die punktweise Eigen-
schaften mit globalen verknüpfen, [22, 145].

Satz 2.14 (Bairescher Kategoriensatz)
Es sei X ein Banach-Raum und eine Folge von abgeschlossenen Mengen für die n A n ( ) = A n

X gelte. Dann existiert ein n 0 , so dass die Menge A n 0 eine offene Kugel enthält.

Satz 2.15 (Banach-Steinhaus)
Es seien X ein Banach-Raum, Y ein normierter Raum und

(

F i ) ⊂L ( X , Y

)

,i

∈

I

= ∅

eine

Familie von linearen und stetigen Abbildungen. Dann gilt:

I

Y < ∞ ∈ ⇒

I

< ∞

sup
i

F i x für alle x X sup

i

F i .

∈ ∈

Satz 2.16 (Satz von der offenen/inversen Abbildung)
Eine lineare und stetige Abbildung F

∈L ( ) X , Y zwischen Banach-Räumen X und Y ist genau

dann offen, wenn sie surjektiv ist.
Insbesondere hat eine bijektive lineare und stetige Abbildung F zwischen Banach-Räumen
immer eine stetige Inverse F − 1 .

Wenden wir uns nun einem in der Funktionalanalysis wichtigen Konstrukt zu, dem
zu X assoziierten Dualraum X ∗ = L (

.Da K ein Banach-Raum ist, ist nach Bei-
spiel 2.13 auch X ∗ stets ein Banach-Raum. Die Norm auf X ∗ ergibt sich aus Definiti-
on 2.7, beziehungsweise aus einer der Charakterisierungen als

X , K

)

x ∗ X ∗ = x ∗ ( sup x

)

.

x X ≤ 1